Titel: Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator usw.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1910, Band 325 (S. 21–24)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj325/ar325007

Der Reguliervorgang: beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator mit nachgiebiger Rückführung (Isodromregulator).

Von Dipl.-Ing. Heinrich Haake, Preußisch Oldendorf.

(Fortsetzung von S. 7 d. Bd.)

Für den zu betrachtenden Reguliervorgang sei die Füllung vor der Belastungsänderung = a, die des neuen Beharrungszustandes = b, also ist für den ersten Moment der Unterschied zwischen treibendem und widerstehendem Drehmoment = (a – b) . M1; kA und kB sollen die zu a und b gehörenden Kolbenstellungen bezeichnen und k der beliebigen Füllung φ entsprechen, dann ist für einen beliebigen Moment während des Reguliervorganges:

. . 15)

Diesen Wert setzen wir in Gleichung 13 ein und erhalten:

. . . 16)

bezw.

. . . 16a)

Für bekommen wir jetzt aus Gleichung 7 a durch Einsetzen der eben festgelegten Größe

. . 17)

Ferner läßt sich für Gleichung 2a nunmehr schreiben:

. . . . . 18)

Der gesamte Muffenhub m1 steht in einem ganz bestimmten, durch die Hebelübertragung bedingten Verhältnis zu dem ideellen Kolbenwege (k1 – k0) demnach muß

sein. Multiplizieren wir also das erste Glied der rechten Seite von Gleichung 18 mit so wird:

. 18a)

Wir differenzieren diese Gleichung nach t:

. 18b)

Auf Grund von Gleichung 5 a läßt sich noch durch ersetzen, so daß wir erhalten:

. 19)

Nach Voraussetzung 6 ist der vom Reguliergetriebe in seiner Größe beeinflußte Steuerquerschnitt die engste Stelle, die die arbeitende Druckflüssigkeit auf dem Wege vom Steuergehäuse bis zum Arbeitszylinder zu durchfließen hat. An dieser Stelle wird sich also die größte Geschwindigkeit der Druckflüssigkeit einstellen. Die Geschwindigkeit des Kolbens ist die Kolbenfläche = F. Bezeichnet f1 = λ . d . π . l den veränderlichen Steuerquerschnitt (λ < 1 wegen der Querschnittsversperrung durch Rippen), so können wir die Kontinuitätsgleichung aufstellen:

F . v = f1 . w1 . . . . . . 20)

a h1 sei der für die Erzeugung von Geschwindigkeit zur Verfügung stehende Teil der Flüssigkeitsdruckhöhe h1, ξ ein Widerstandskoeffizient und g die Beschleunigung der Erdschwere, dann ist:

und wir können statt Gleichung 20 schreiben:

. 20a)

daraus ergibt sich:

Für setzen wir auch hier wieder den Ausdruck aus Gleichung 5 a ein und erhalten:

21)

differentiieren wir diese Gleichung zweimal nach t, so können wir sie der Gleichung 19 gleichsetzen und dadurch die veränderliche Größe l herausschaffen:

. . 21a)

|22|

Also

. . . 22)

Wir dividieren diese ganze Gleichung noch durch den Koeffizienten des ersten Gliedes und erhalten dann die Differentialgleichung:

. 22a)

Die Koeffizienten der Gleichung wollen wir in folgender Weise zusammenfassen:

  • 1. (Nach Gleichung 3)
  • 2.
  • 3.

Damit schreibt sich die Gleichung 22 a:

. 22b)

Zum besseren Verständnis wollen wir nun die drei Koeffizienten Ψ, c1 und c2 näher betrachten:

Nach Gleichung 4 ist die relative Geschwindigkeit der Reibscheibe W gegenüber der Spindel S: Ψ ist also die Größe dieser Geschwindigkeit für den Fall, daß z = 1 ist. gibt in Sekunden die Zeit an, in welcher bei z = 1 eine Verlängerung, bezw. Verkürzung der Spindel S um die Längeneinheit erfolgen würde. Ψ ist als die Konstante des nachgiebigen Gliedes zu bezeichnen.

Nach Gleichung 20 a ist

;

ist die Geschwindigkeit des Kolbens im Arbeitszylinder, also

die Rückführgeschwindigkeit des Steuerventiles unter Voraussetzung starren Gestänges, daraus folgt, daß

die Größe dieser Rückführgeschwindigkeit darstellt infolge der sich beim Hube l = 1“ des Steuerventiles einstellenden Kolbengeschwindigkeit, rein auf Grund der Kontinuitätsgleichung.

Der Ausdruck entspricht der im Pfarrschen Werke „die Turbinen für Wasserkraftbetrieb“ (siehe dort Seite 725 und folgende) näher besprochenen konstanten Zeit C und zwar ist

Setzen wir für ß und A1 aus unseren früheren Gleichungen Umdrehungszahlen, Drehmoment und Trägheitsmoment entsprechend ein, so ergibt sich eine einfache Deutung dieser konstanten Zeit. Nach Gleichung 12 war:

ferner ist:

;

damit wird:

Somit ist diejenige Zeit, in welcher das maximale Drehmoment der Turbine die Umdrehungszahl durch Beschleunigung der rotierenden Massen um (n0 – n1) zu erhöhen vermag. Multiplizieren wir (n0 – n1) und M1 mit (a – b), so bleibt der Ausdruck in seiner Größe unverändert, d.h. ist die Zeit, in welcher ein übeschüssiges Drehmoment (a – b) . M1 die Umdrehungszahl der Turbine um (a – b) . (n0 – n1) erhöhen würde.

Nun haben alle drei Größen Ψ, c1 und c2 die Dimension sec.–1 oder es ist also berechtigt, Ψ und c2 als Funktionen von c1 zu betrachten und zu setzen:

Ψ = v . c1 . . . . . . 23)

c2 = x . c1 . . . . . 23a)

so daß endlich die Differentialgleichung in folgender Form erscheint:

. . . . . 24)

Das allgemeine Integral dieser homogenen, linearen Differentialgleichung dritter Ordnung ergibt die Verschiebung der Reibscheibe W aus der Mittellage nach Ablauf der Zeit t und zwar ist:

. 25)

Die Koeffizienten C1, C2 und C3 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen, also für t = 0; die Exponenten w1, w2 und w3 lassen sich berechnen aus der kubischen Gleichung:

w3 + c1 . (v + 1) . w2 + x . c12 . w + x . v . c13 = 0 . 26)

Diskussion der Differentialgleichung für die Bewegung des Reguliergetriebes.

Ein Blick auf die Gleichung 25 lehrt uns, daß, als Funktion von der Zeit aufgetragen, die Kurve der z-Werte Schwingungen nicht haben kann, so lange die Exponentenfaktoren w1, w2 und w3 reell sind. Es ist also zunächst wichtig, festzustellen, unter welchen Bedingungen die kubische Gleichung 26 reelle Wurzeln ergibt. Zu diesem Zweck bilden wir die spezielle Diskriminante D. Für eine kubische Gleichung von der allgemeinen Form

|23|

a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3 = 0

ist die Diskriminante

D = a12 . a22 + 18 a0 . a1 . a2 . a3 – 4 a0 . a23 – 4 a13 . a3 – 27 a02 . a32 . . . . . . . . 27)

In unserer Gleichung 26 ist:

a0 = 1; a1 = c1 . (v + 1);

a2 = x c12; a3 = x . v . c13.

Wir setzen diesen Wert ein und erhalten speziell hier:

D = c12 . (v + 1)2 . x2 . c14 + 18 . c1 (v + 1) . x . c12 . x . v . c13 – 4 . x3 – c16 – 4 . c13 (v + 1)3 . x . v . c13 – 27 . x2 . v2c16 . 27 a)

c16 läßt sich absorbieren, die übrigen Glieder seien ausmultipliziert und vereinigt, dann wird:

D = c16 [ – 4 x3 + x2 (1 + 20 v – 8 v2) – 4 x . v . (v + 1)3] . . . . . . . 27b)

Bei positiver Diskriminante sind die Wurzeln der kubischen Gleichung reell, bei negativer Diskriminante ist eine Wurzel reell, während die beiden anderen imaginär sind. Verschwindet die Diskriminante, so sind zwei Wurzeln einander gleich.

Der Ausdruck 27 b besagt daß c1 einen direkten Einfluß auf das Vorzeichen von D nicht hat Dafür, ob wir einen Reguliervorgang mit oder ohne Schwingungen erhalten, ist also lediglich die Größe von x und v maßgebend. Wir zeichnen nun ein Koordinatensystem mit x als Ordinaten und v als Abszissenachse (Fig. 4). Darin wollen wir diejenigen zusammengehörigen Werte von x und v kennzeichnen, die uns reelle, bezw. imaginäre Wurzeln liefern; es wird sich also in dem Koordinatensystem ein Feld ergeben, innerhalb dessen D positiv, außerhalb dessen D negativ wird. Die Grenze können wir ausrechnen, wenn wir D = 0 setzen; wir erhalten dann nämlich aus dem Klammerausdruck die kubische Gleichung:

x3 – (0,25 + 5 v – 2 v2) . x2 + x . v . (v + 1)3 = 0 . 28)

Die Wurzeln dieser kubischen Gleichung 28 seien mit x1, x2 und x3 bezeichnet; die eine Wurzel x1 ist = 0. Die Gleichung reduziert sich also auf die quadratische Gleichung:

x2 – (0,25 + 5 v – 2 v2) . x + v . (v + 1)3 = 0 . 29)

Die beiden Wurzeln lauten:

Nehmen wir für v verschiedene Werte an, so liefert uns die Berechnung nebenstehende Tabelle:

v = x2 = x3 =
0 0,25 0
0,05 0,3075 0,1875
0,1 0,3764 0,3536
0,125 0,421875 0,421875

Diese Punkte sind in Fig. 4 eingetragen und durch die gestrichelten Kurven miteinander verbunden. Auf diese Weise bekommen wir zwischen den beiden Kurven das Feld für reelle Wurzeln, also für schwingungsfreien Uebergang. Da in Wirklichkeit beliebige Werte von x und v vorkommen können, so wollen wir folgende beiden Hauptfälle getrennt betrachten:

A: Alle drei Wurzeln der kubischen Gleichung 26 sind reell, „Der Reguliervorgang verläuft schwingungsfrei“.

B: Nur eine Wurzel der kubischen Gleichung 26 ist reell, die beiden anderen erscheinen in imaginärer Form, „Der Reguliervorgang erfolgt mit Schwingungen“.

Zu „A“, Schwingungsfreier Reguliervorgang.

Die Größe z der Verschiebung der Reibscheibe W aus ihrer Mittellage fand sich:

. 25)

Wir setzen jetzt voraus, daß w1, w2 und w3 reell sind. Mit Hilfe der Diskriminante können wir dann auch feststellen, welches Vorzeichen diese drei Wurzeln haben. Bei positiver Diskriminante nämlich ist die Anzahl der positiven Wurzeln der allgemeinen kubischen Gleichung:

Textabbildung Bd. 325, S. 23

x3 + a1 . x2 + a2 . x + a3 = 0

gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe

1, a1, a2, a3,

wenn wir unter einem Zeichenwechsel die Aufeinanderfolge einer positiven und einer negativen oder einer negativen und einer positiven Größe verstehen. Unsere kubische Gleichung lautete:

w3 + c1 . (v + 1) w2 + x . c12 . w + x . v . c13 = 0 . 26)

Da also weder x, noch v, noch c1 der Natur der Verhältnisse nach negativ werden können, so ist überhaupt kein Zeichenwechsel vorhanden, d.h. die Vorzeichen |24| von w1, w2 und w3 sind stets negativ. Die Zeit t ist immer positiv, also werden die Exponenten von e in Gleichung 25 negativ, infolgedessen konvergiert der Ausdruck bei wachsendem t; demnach ist der Regulator stabil.

Jetzt sollen (vergl. S. 22, Gleichung 25) die Koeffizienten C1, C2 und C3 berechnet werden; der Punkt O in Fig. 1 befindet sich, so lange Beharrungszustand im Reguliergetriebe herrscht, in seiner Ruhelage, für den Zeitpunkt t = 0 ist also z = 0. Ebenso ist in diesem Moment noch die Geschwindigkeit von Punkt O = 0; sobald nun die Tachometermuffe anfängt, sich zu bewegen, kommt Bewegung in das ganze Reguliergetriebe, weil das Steuerventil geöffnet wird. Daraus folgt, daß eine Beschleunigung der einzelnen Teile des Reguliergetriebes eintritt. Im Zeitpunkt t = 0 ist z = 0, die Reibscheibe W befindet sich in ihrer Ruhelage, ist also ohne Bewegung; die Beschleunigung, welche der Punkt O im nächsten Augenblick erfährt, kann demnach nur gleich derjenigen sein, die dem Arbeitskolben mitgeteilt wird. Es ergibt sich für den Zeitpunkt t = 0:

1.

dann auch

2.

und

3. (z)t = 0 = 0.

Aus Gleichung 20 a erhalten wir durch Differentiation nach t:

nach Gleichung 18 a ist:

folglich muß sein:

. 31)

Setzen wir in diesen Ausdruck die zusammenfassenden Koeffizienten aus den Gleichungen 22 bis 23 a ein, so wird:

. 31 a)

Statt (kA – kB) können wir auf Grund von Gleichung 14 b schreiben:

(k 1 – k 0 ) . (a – b),

also bekommen wir schließlich:

. 31 b)

Bilden wir jetzt die ersten beiden Ableitungen von z = f (t), und setzen darin t = 0, so erhalten wir zur Berechnung der Größen C1, C2 und C3 die drei Gleichungen:

a) C1 + C2 + C3 = 0,

b) C1 w1 + C2 w2 + C3 w3 = 0,

c) C1 w12 + C2 w22 + C3 w32 = – x c12 (k1k0) (ab).

Die Koeffizienten selbst bestimmen sich zu:

. 33 a)

. 33 b)

. 33 c)

Wir erhalten also endgültig für z den Ausdruck:

34)

Besonders wichtig ist an dieser Gleichung, daß dieselbe ein Vielfaches von (ab) darstellt, a und b sind ja die Füllungen vor und nach dem Reguliervorgang; das besagt: die Ausschläge des Punktes O und, wie aus den früher aufgestellten Gleichungen hervorgeht, damit auch der übrigen Teile des Getriebes, sind direkt proportional der verhältnismäßigen Größe der Belastungsänderung der Turbine. In welcher Weise aus der für z geltenden Gleichung 34 die Bewegungsgleichungen der einzelnen Getriebeteile sich ableiten lassen, wollen wir nicht allgemein durchführen, sondern es später an einem Beispiel zeigen.

Schon hier sei bemerkt, daß die w-Werte lineare Funktionen von c1 sind, daß c1 also in obiger Gleichung nur in den Exponenten der Ausdrücke ewt Einfluß hat, während es sich aus den Koeffizienten heraushebt; der Beweis kann erst später erbracht werden.

(Fortsetzung folgt.)

Suche im Journal   → Hilfe
Alternative Artikelansichten
  • XML
  • Textversion
    Dieser XML-Auszug (TEI P5) stellt die Grundlage für diesen Artikel.
  • BibTeX
Feedback

Art des Feedbacks:
Ihre E-Mail-Adresse:
Anmerkungen: