Titel: Ueber Fahrwiderstände an Laufkranen.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1910, Band 325 (S. 169–173)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj325/ar325050

Ueber Fahrwiderstände an Laufkranen.

Von Dipl.-Ing. Martin Pape, Berlin.

(Fortsetzung von S. 151 d. Bd.)

Die weitere Ermittlung gilt nun den Koordinaten xi und yi desjenigen Hyperbelpunktes J (Fig. 11), der bei einem bestimmten Schrägstellungswinkel α des Rades in Berührung mit der Schiene ist. Damit ist dann der Angriffspunkt der Kraft S1 bestimmt: Es bedeute in Fig. 11 J E die Tangente an die Hyperbel im Punkte J und ß den Winkel, welchen die Tangente mit der positiven Richtung der X-Achse bildet. Kommt durch Schrägstellung des Rades der Punkt J zur Berührung mit der Schiene, so geht das Dreieck E F J über in die Lage E' F' J', und es wird ersichtlich, daß der dem Berührungspunkte J zugeordnete Schrägstellungswinkel α des Rades der Komplementwinkel zu ß ist, d.h.

Unter Zuhilfenahme der obigen Scheitelgleichung, in welcher p und a bekannt sind, lassen sich jetzt xi und yi für gegebenes α ermitteln.

Der Rechnungsgang läßt sich durch eine Vernachlässigung, welche das Ergebnis praktisch nicht beeinflußt, vereinfachen. Hierbei ist zu berücksichtigen, daß für die Lage des Berührungspunktes I nicht der ganze Hyperbelzweig C B C' (Fig. 7) in Frage kommt, sondern nur die näher am Scheitel B gelegenen Punkte. Ferner ist die Krümmung der Hyperbel im Scheitel sehr gering = 2 bis 4 m), so daß xi sehr klein wird. Man kann daher in der obigen Scheitelgleichung als Glied höherer Ordnung gegen 2 x vernachlässigen; dann wird

y2 = 2 p x.

Die Vernachlässigung ist gleichbedeutend mit der Ersetzung der Hyperbel durch eine Parabel. Man hat:

Aus den beiden letzten Gleichungen ergibt sich;

yi =ρ . tg α = f (α) . . . . 8)

Der Angriffspunkt der Kraft S1 wandert bei Schrägstellung des Rades um den Winkel α von B nach J', wobei die Entfernung dieser beiden Punkte gleich dem abgewickelten Parabelzweig B J ist. Berücksichtigt man, daß α stets sehr klein, der Krümmungsradius des Kegelschnittes im Scheitel sehr groß ist, so erscheint es zulässig, B J = yi zu setzen. Danach kann der Abstand des Berührungspunktes J zwischen Spurkranz und Schiene vom augenblicklichen Pol der Bewegung A, d. i. die Strecke A J bestimmt werden. Bezeichnet man A J mit e, so ist (Fig. 10):

und

Die Kenntnis des Angriffspunktes der Kraft S1 ergibt |170| ohne weiteres auch ihre Richtung; denn in einem gegebenen Augenblick drehen sich sämtliche Punkte des rollenden Rades um den augenblicklichen Pol A der Bewegung, d.h. S1 muß winkelrecht zu A J gerichtet sein.

Berechnet man die Werte e, yi und δ für ein beliebiges Beispiel, so findet man, daß das Ergebnis praktisch ungeändert bleibt, wenn sin γ = 0 gesetzt wird. Der Steigungswinkel γ ist bei den meisten Ausführungen in der Tat nur gering, und man wird im Laufe der Untersuchung gerade einen kleinen Steigungswinkel (tg γ = ∾) als zweckmäßig erkennen. Für kleines γ gilt dann:

;

und mittels der Gleichung y2 = 2 p x:

. . . . 9)

ferner

. . . . . . 10)

und

. . . . . . . 11)

. . . . . . . 12)

Mit Hilfe der Gleichungen 9 bis 12 läßt sich für jeden möglichen Schrägstellungswinkel α eines Rades das Kräftepaar der Spurkranzreibung und bestimmen. Mit A J = e wird nach S. 150:

Bildet man schließlich aus und einen Mittelwert und setzt:

. . . . 13)

so hat man als das mittlere Verlustmoment der Spurkranzreibung

. . 14)

Hierin kann h als der ideelle Hebelarm des mittleren Spurkranzreibungsmantels betrachtet werden.

Bevor das Ergebnis durch ein Beispiel zahlenmäßig veranschaulicht wird, soll die Abhängigkeit des Wertes von den Abmessungen des Rades und der Schiene erörtert werden. Der Entwicklungsgang, welcher zu Gleichung 14 führte, läßt erkennen, daß das veränderlich ist:

  • 1. mit den Werten λ oder δ und e,
  • 2. mit dem Schrägstellungswinkel α des Rades (Gleichung 8),
  • 3. mit dem Steigungswinkel γ des Spurkranzes (Gleichung 7 und 9).

Bezüglich des Einflusses von λ und e auf die Größe von gilt, daß letzteres kleiner wird mit abnehmenden λ und e. Wie ein Blick auf die Gleichungen 10–12 lehrt, läßt sich ein kleines λ und e erzielen durch einen möglichst geringen Abrundungshalbmesser ρ der Schiene. Es ist also zweckmäßig, der Schiene nur ihre scharfe Kante zu nehmen, so daß ρ etwa 2 mm wird, Der Vorteil, der sich hierdurch erzielen läßt, ist nicht unbedeutend. Diese Erkenntnis zeigt, daß die von den Hütten verfertigten Kranschienen mit ihren verhältnismäßig großen Abrundungen in bezug auf die Spurkranzreibung unvorteilhaft ausgebildet sind.

Ferner wird der Wert yi und damit e und um so größer, je größer der Schrägstellungswinkel α des Rades ist. Da sich α während der Fahrt des Kranwagens verändert, so muß man sich, wie bei der Quergleitung darauf beschränken, den Mittelwert von α = 1/200 in die Rechnung einzuführen (vergl. S. 148).

Um schließlich die Abhängigkeit des Spurkranzreibungsmomentes von dem Steigungswinkel γ zu kennzeichnen, betrachtet man am besten die Gleichung 6. Das Moment der Kraft um den Punkt O (Fig. 10) ist mit sin γ verhältnisgleich. Daraus geht hervor, daß ein kleines γ von Vorteil ist. Es wäre jedoch fälschlich, wollte man γ = 0 machen; denn in diesem Falle würde der Anlaufspunkt J (Fig. 7) bei der geringsten Schrägstellung des Rades sofort in seine äußerste Lage rücken, d.h. mit dem Punkt C oder C' zusammenfallen. Das Rad würde dann um den Punkt C oder C' kanten und e seinen größten, also ungünstigsten Wert annehmen. Ein Urteil darüber, welche Spurkranzsteigung günstig ist, kann man sich aus der Tab. 1 bilden, in welcher der Wert h für ein Rad von 600 mm ⌀ unter Zugrundelegung verschiedener Steigungswinkel γ berechnet ist. Daraus ist ersichtlich, daß der Faktor (R sin λ + 2 e) für die angenommenen Steigungswinkel γ nur schwach veränderlich ist, während andererseits w mit abnehmenden γ ebenfalls stark abnimmt. Bei tg γ = 1/12 ist w bereits annähernd auf seinen Mindestwert 1 (vergl. Gleichung 7) gesunken. Mit anderen Worten: bei einem Steigungswinkel γ < 1/12 läßt sich der Einfluß der Kraft S1 . auf das Spurkranzreibungsmoment vernachlässigen. Aus den obigen Betrachtungen ist man daher zu den untenstehenden Schlußfolgerungen berechtigt. Um das Spurkranzreibungsmoment klein zu halten, ist:

  • 1. der Abrundungshalbmesser ρ der Schiene so klein wie möglich,
  • 2. der Steigungswinkel γ < 1/12 zu machen.

Bei ausgeführten Rädern begegnet man häufig einem Wert tg γ = ⅛; unter Zugrundelegung dieses Wertes und ρ = 2 mm ist in der Tab. 1 a für Räder von 500 bis 1000 mm ⌀ der Wert h ebenfalls berechnet. Wie aus der Tabelle hervorgeht, bestimmt sich h für die am meisten in Betracht kommenden Räder etwa zu 4,5 bis 5,5 cm. Bei tg γ = 1/12 ist man jedoch berechtigt, mit h = 3,5 – 4,5 cm zu rechnen, wobei die größeren Werte für größere Raddurchmesser gelten. Zum Schlusse sei noch hervorgehoben, daß die vorstehende Untersuchung

Tabelle 1.

Raddurch-
messer
2 R mm

γ

δ
aus Gl. 11
w
cm
aus Gl. 7

sin λ
aus Gl. 12

R sin λ
cm
e
cm
aus Gl. 10

R sin λ + 2 e
cm
h
cm
aus Gl. 13
600 14° ¼ 17° 49' 2,39 0,1282 3,85 0,65 4,50 6,15
600 7° 10' 9° 7' 1,73 0,09159 2,75 1,26 4,01 4,56
600 4° 50' 1/12 6° 7' 1,105 0,09643 2,89 1,88 4,77 3,68
|171|

für das Spurkranzreibungsmoment nur einen Mittelwert liefert. Die Veränderlichkeit des Schrägstellungswinkels α und die statische Unbestimmtheit der Aufgabe machen es unmöglich, dieses Verlustmoment mit größerer Schärfe zu bestimmen.

Tabelle 1 a.

Radduch-
messer
mm

tg γ
ρ
cm
aus Gl. 9
yi
cm
aus Gl. 8

δ
aus Gl. 11
w
cm
aus Gl. 7

sin λ

R sin λ
cm
e
cm
aus Gl. 10

h
cm
500 209 1,045 10° 50' 1,73 0,1086 2,71 1,06 4,20
600 249 1,245 9° 7' 1,73 0,09159 2,75 1,26 4,56
700 289 1,445 7° 53' 1,73 0,07928 2,77 1,46 4,90
800 329 1,645 6° 56' 1,73 0,06978 2,79 1,66 5,28
900 369 1,845 6° 11' 1,73 0,06226 2,80 1,85 5,62
1000 409 2,045 5° 35' 1,73 0,05624 2,81 2,05 5,97

4. Die Nabenstirnreibung.

Es möge für alle folgenden Untersuchungen festgelegt werden, daß sich wie in Fig. 12 und 13 die geführten Räder 1 und 2 (mit engem Profil) auf der linken Seite, die nicht geführten Räder 3 und 4 (mit weitem Profil) auf der rechten Seite befinden.

Textabbildung Bd. 325, S. 171
Textabbildung Bd. 325, S. 171

Q1, Q2, Q3, Q4 sind die Raddrücke der dem Zeiger entsprechenden Räder. Da häufig die Lasttrommeln doppelt bewickelt und in der Mitte zwischen den Kranträgern angeordnet sind, so ist Q1 = Q2 und Q3 = Q4 angenommen. Die nicht geführten Räder haben bei doppeltem Spurkranz so weites Profil, daß selbst bei gröberen Ungenauigkeiten in der Spurweite eine Berührung zwischen Spurkranz und Schiene ausgeschlossen ist.

Das Bestreben der nicht geführten Räder, aus der vorgeschriebenen Richtung herauszurollen, wird in diesem Fall verhindert durch die von dem Kopfträger auf die Nabenstirn ausgeübte, der Quergleitung entsprechende Kraft Q3 μ1 bezw. Q4 μ1. Bezeichnet μ2 die Reibungsziffer an der Nabenstirn und rm den mittleren Nabenhalbmesser, so ergibt sich das durch die Quergleitung der nicht geführten Räder bedingte Reibungsmoment an den Nabenstirnen:


an den nicht ge
führten Rädern.

Je nachdem beide Räder (3 und 4) nach innen oder nach außen streben, wird durch den Kopfträger auf die Eisenkonstruktion Druck oder Zug von der Größe

K = (Q3 + Q4) μ1

ausgeübt. Das Gleichgewicht des Kranwagens bedingt, daß die in Fig. 12 gezeichnete Zugkraft K in den Hauptträgern auch zwischen den Nabenstirnen der geführten Räder (links) und dem Kranwagen auftritt. Somit wirkt die Kraft K. ebenfalls sowohl an den Stirnflächen als auch an den Spurkränzen der geführten Räder und erzeugt dort ein Verlustmoment.

an den geführten
Rädern.

Hierin bedeutet h den früher erläuterten idellen Hebelarm der Spurkranzreibung. Es wird also die Kraft K durch die Eisenkonstruktion von der nicht geführten Kranseite auf die geführte übertragen. Die hierdurch hervorgerufenen Verlustmomente sind durch die vorhergehenden Gleichungen bestimmt. Von Ernst ist angenommen4), daß die Nabenstirnreibung im Vergleich zur Spurkranzreibung eine untergeordnete Rolle spielt. Eine zahlenmäßige Berechnung des obigen Klammerwertes (μ2 rm + μ1 h) zeigt jedoch, daß die beiden Verlustmomente von nahezu gleicher Größenordnung sind. Man sollte deshalb die Nabenstirnreibung gegenüber der Spurkranzreibung nicht vernachlässigen.

Es ist bereits darauf hingewiesen, daß die von den nicht geführten Rädern auf die Fahrbühne ausgeübte Kraft Zug oder Druck sein kann. Sie kann aber auch verschwinden und zwar tritt dies ein, wenn infolge des entgegengesetzten Sinnes von α2 das Rad 3 nach außen und das Rad 4 nach innen strebt. In diesem Fall würde und zu Null werden. Allgemein läßt sich sagen, daß jedes Rad, dessen Abweichung vom Schienenweg durch einen achialen Nabendruck und nicht durch einen Spurkranzdruck verhindert wird, eine Kraft gleich seiner Quergleitung auf den Kranwagen ausübt. Die algebraische Summe dieser Kräfte ist im allgemeinen von einem, möglicherweise auch von mehreren Spurkranzpunkten der geführten Seite aufzunehmen. Hierüber ist im folgenden Abschnitt Näheres enthalten.

5. Zusammensetzung der einzelnen Widerstände zu dem gesamten Fahrwiderstand.

Bei der Ermittlung des gesamten Fahrwiderstandes ist zunächst die Frage zu beantworten, durch wieviel Spurkranzpunkte oder durch wieviel Räder der Kranwagen geführt wird. Der Fall, daß die Spurkränze der Räder 1 und 2 zugleich und zwar auf derselben Seite der Schiene anliegen, setzt voraus, daß α1, d. i. der Schrägstellungswinkel des Wagens, Null ist. Nimmt man nun an, daß die Antriebsräder genau gleichen Durchmesser hätten, so bedingt dennoch die ungleiche elastische Verdrehung der Antriebswelle in dem allgemeinen Fall daß die Katze |172| nicht in ihrer Mittelstellung ist, eine Schräglage des Kranes. Außerdem müßte die früher gemachte Annahme, daß α2 für alle Räder gleich groß ist, wenigstens für die Antriebsräder genau erfüllt sein; denn sonst würde auch die Ungleichheit der Geschwindigkeitskomponente R ω cos α2 (Fig. 5) ebenfalls eine Schräglage der Fahrbühne herbeiführen. Ferner verbürgt nichts, daß der Kranwagen von vornherein genau winkelrecht auf seine Fahrbahn gesetzt ist. Daraus geht hervor, daß die Führung des Kranes durch zwei Spurkranzpunkte auf derselben Seite der Schiene von einer Anzahl Bedingungen abhängig ist, die kaum zu gleicher Zeit erfüllt sein werden, so daß eine solche Führung nur für verschwindend kurze Zeit vorliegen kann. Solange der Kranwagen seine größte Schräglage nicht erreicht hat, braucht man daher nur mit einer Führung in einem Spurkranzpunkte zu rechnen. Die folgende Untersuchung ist dementsprechend geführt worden.

Die Größe der Wagerechtkraft K (Fig. 12), welche den Kranwagen quer zu seiner Bewegungsrichtung zu verschieben sucht, ist abhängig von dem Schrägstellungssinn der Räder 3 und 4, nicht aber von der Größe der Schrägstellung. Letztere ist jedoch bei den Rädern 1 und 2 im Hinblick auf den Anlaufspunkt J (Fig. 7) von Einfluß für den Betrag des Spurkranzreibungsmomentes. Da Sinn und Größe des Fehlerwinkels α2 bei dem Entwurf eines Kranes nicht bekannt sind, so läßt sich eine genaue Vorausbestimmung des Fahrwiderstandes nicht vornehmen. Man ist jedoch auch hier in der Lage, die günstigsten sowie ungünstigsten Bedingungen für die Größe des Fahrwiderstandes zu ergründen. Die Wirklichkeit wird im allgemeinen zwischen diesen beiden Fällen liegen.

Textabbildung Bd. 325, S. 172

Der ungünstigste Fall liegt vor, wenn für alle Räder a gleichen Sinn hat (Fig. 14); denn dann erreichen die auf den Kranwagen ausgeübten Wagerechtkräfte ihren Höchstwert.

Wird in dem gegebenen Fall der Kran z.B. durch das Rad 2 geführt, so ist von dessen Spurkranz ein Druck aufzunehmen, der gleich der Summe der Quergleitungen aller vier Räder ist. Dabei wirkt die Kraft (Q1 + Q3 + Q4) μ1 auf die Nabenstirn des Rades 2 und liefert im Verein mit der eigenen Quergleitung dieses Rades den auftretenden Spurkranzdruck (Q1 + Q2 + Q3 + Q4) μ1 (s. auch Fig. 20). Die Reibungsmomente der einzelnen Räder setzen sich zusammen aus den Momenten für Zapfenreibung, Rollwiderstand, Nabenstirnreibung, Spurkranzreibung und Quergleitung, so daß sich für die Räder 1, 2, 3 und 4 als gesamte Verlustmomente ergeben:

. . . . 15)

. . . . 16)

. . . . 17)

. . . . 18)

Mit

und

Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4

wird das gesamte Fahrwiderstandsmoment im ungünstigsten Falle:

. . 19)

Aus Gleichung 19 geht hervor, daß bei den durch Fig. 14 gekennzeichneten Radstellungen für eine gegebene Last das Fahrwiderstandsmoment keinen konstanten Wert liefert, sondern von der Katzenstellung abhängig ist; denn es wird um so größer, je mehr die nicht geführten Räder belastet sind. Der Unterschied ist allerdings gering, wie aus einem später berechneten Beispiel hervorgeht. Es wird schließlich der Fahrwiderstand (Fig. 1).

Textabbildung Bd. 325, S. 172

. . 20)

Der kleinste Fahrwiderstand, später häufig durch „günstigster Kräftezustand“ gekennzeichnet, tritt auf bei der in Fig. 15 angegebenen Schrägstellung der Räder; denn es greifen in diesem Fall an jedem Kopiträger zwei gleich große und entgegengesetzte Kräfte, d. i. Q3 μ1 und Q4 μ1 bezw. Q1 μ1 und Q2 μ1 an, so daß die Summe der Quergleitungskräfte aus allen vier Rädern Null ist. Spurkranzkräfte können daher nicht zur Wirkung gelangen.

Es wird in dem Falle fehlender Spurkranzreibung:

. . 21)

. . 22)

. . 23)

. . 24)

und

. . 25)

sowie

. . 26)

Textabbildung Bd. 325, S. 172

Eine Schrägstellung der Räder, wie sie Fig. 15 zeigt, dürfte nur selten vorhanden sein, weil der Fehlerwinkel α2 hauptsächlich dadurch hervorgerufen wird, daß die beiden Kopfträger nicht parallel sind. Der Fall gewinnt jedoch deshalb an Bedeutung, weil es für die viel wahrscheinlichere Anordnung der Räder in Fig. 16 einen Sonderfall der Belastung gibt, wo die obigen Gleichungen auch erfüllt sind, wenn nämlich die Katze in ihrer Mittelstellung ist, so daß annähernd Q1 = Q2 = Q3 = Q4 ist.

Bei jeder anderen Belastungsweise wird ein mehr oder weniger großer Spurkranzdruck auftreten, wodurch der Fahrwiderstand gegenüber Gleichung 26 erhöht wird und im allgemeinen zwischen dem Werte dieser Gleichung und dem der Gleichung 20 liegt. Das gleiche wird sein bei den verschiedenen Radstellungen, welche außer den erwähnten noch möglich sind.

|173|

Für den gedachten Fall, daß α2 = 0 ist, wird bei vorhandener Schräglage der Fahrbühne die Stellung der Räder dieselbe wie in Fig. 14, so daß in diesem Fall der Fahrwiderstand ebenfalls nach Gleichung 20 zu bemessen ist. Höchstens wird der durch die Quergleitung hervorgerufene Verlust vermindert. Es wird demnach auch für α2 = 0 der erzeugte Fahr widerstand den nach Gleichung 20 bestimmten Wert nicht übersteigen.

Ehe die gewonnenen Werte an einem Beispiel zahlenmäßig zur Anschauung gebracht werden, soll kurz der Einfluß der jeweiligen Katzen Stellung auf den Raddruck erörtert werden. Die Raddrücke Q1 + Q2 und Q3 + Q4 setzen sich zusammen aus einem konstanten Anteil, der von dem Gewicht der Eisenkonstruktion Qe herrührt, und aus einem veränderlichen Anteil, der durch Katzengewicht + Nutzlast = Qs bedingt wird. Ist in Fig. 17 x die Entfernung der Katze von den geführten Rädern, so ist, wenn die Spannweite mit s bezeichnet wird,

Textabbildung Bd. 325, S. 173

Mit

und

wird:

Q3 + Q4 = C1 + C2 x

d.h. die Raddrücke ändern sich linear mit x.

Beispiel.

Es werde ein 15 t-Laufkran von 15 m Spannweite untersucht. Das Ergebnis ist in Tabelle 2 zusammengestellt, und zwar ist das Fahrwiderstandsmoment für jede Verlustquelle gesondert ermittelt, um von der Größenordnung der einzelnen Reibungsverluste eine Vorstellung zu geben. Für den ungünstigsten Kräftezustand (Fig. 14) sind die Fahrwiderstandsmomente für die äußerste Katzenstellung links, für die Mittelstellung und für die äußerste Katzenstellung rechts berechnet. Daraus geht hervor, daß das gesamte Verlustmoment nur in geringem Maße von der Katzenstellung abhängig ist. Für den günstigsten Kräftezustand (Fig. 15) ist die Katzenstellung ohne Einfluß auf den Fahrwiderstand.

Der Berechnung wurden folgende Zahlen zugrunde gelegt:

Gewicht der Eisenkonstruktion 10,7 t
Gewicht der Katze 5,3 t
Nutzlast 15,0 t
–––––––
zus. 31,0 t

(Q1 + Q2)max = 24,3 t (Q1, + Q2)min = 6,7 t

f = 0,0005 m 2 R = 0,6 m s = 15 m
μ = 0,08 2 r = 0,1 m a = 2,5 m
μ 1 = 0,17 2 rm = 0,14 m b2 = 0,06 m
μ2 = 0,10 h = 0,053 m b1 = 0,055 m

Tabelle 2.

Momente der
Summe von
2, 3, 4 i. v. H.
von 1
1
Zapfenreibung
+Rollwiderstd.
Q (μ r + f)mkg
2
Spurkranzreibg.
Q μ12 hmkg
3
Nabenstirnrbg.
Q μ1 μ2 rm + (Q3
+ Q4) μ1 μ2 rm mkg
4
Quergleitung
mkg
5
Gesamtes
Moment
Ungünstig-
ster Fall
139,5 47,5 44,9 7,91 239,8 72 Last links
139,5 47,5 55,35 7,91 250,25 79,4 Last Mitte
139,5 47,5 65,8 7,91 260,7 86,9 Last rechts
Günstigster
Fall
Q (μr + f)mkg Q μ 1 μ 2 r m mkg mkg
139,5 36,9 7,91 184,3 32,2

(Fortsetzung folgt.)

|171|

Ernst, Hebezeuge. 3. Auflage Bd. I, S. 307 ff.

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