Titel: Graphische Bestimmung der Trägheitsmomente J für lange Druckstäbe nach der Eulerschen Formel.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1910, Band 325 (S. 680–681)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj325/ar325201

Graphische Bestimmung der Trägheitsmomente J für lange Druckstäbe nach der Eulerschen Formel.

Von Ingenieur O. Riwosch, St. Petersburg.

Die graphische Tabelle (Fig. 1) ist für den Grundfall (Fig. 1b) zusammengestellt, daß die beiden Enden des Stabes aus Eisen frei beweglich und in der ursprünglichen Achsrichtung geführt sind.

Textabbildung Bd. 325, S. 680

Wird der Sicherheitskoeffizient für Schweißeisen n = 5 angenommen, so ergibt sich bei E = 2000000 kg/qcm und π = 10 das erforderliche Trägheitsmoment J aus Gleichung:

zu

J = 2,5 P l2,

worin

P die Druckkraft in t und

l die Knicklänge in m bedeuten.

Für P = 1 t ist J = 2,5 l2; l2 = 0,4 J – dieser Ausdruck stellt die Scheitelgleichung der Parabel dar, die in der Tabelle (Fig. 1) fett gezeichnet ist. Die Tabelle ist nach derselben Methode zusammengestellt, die im Aufsatze „Graphische Bestimmung der größten Durchbiegung fmax für eiserne Träger“ (Heft 19, S. 298) ausführlich erläutert ist. Der Bogen in der Tabelle ist mit Teilungen – entsprechend den Druckkräften P in t – versehen, auf der Abszissenachse sind die Längen l in m angegeben.

Um J nach gegebenen P und l zu ermitteln, lege man mit Hilfe eines durchsichtigen Lineals durch den Pol und die betreffende Bogenteilung P eine Gerade und entnehme für l, als Abszisse, die entsprechende Ordinate, die das erforderliche Trägheitsmoment J unmittelbar angibt.

Wenn Jmin aus Formel: Jmin = 2,33 P l2 zu bestimmen ist, so muß man den aus der Tabelle gefundenen Wert mit 0,392 multiplizieren. Zur Bestimmung von J in Fällen, die in Fig. 1a, c und d dargestellt sind, muß man vorher die zu berechnende Länge l aus der Länge l0 ermitteln, d.h. auf den Grundfall (Fig. 1b) überführen. Hierzu ist unter den Fig. 1a, c und d der entsprechende Koeffizient angegeben, mit dem die Stablänge (oder Systemlänge) l0 multipliziert werden muß.

Beispiel 1. Eine 5,5 m hohe eiserne Säule erhält bei Beanspruchung nach Fig. 1b eine achsiale Belastung von 66400 kg. Der Säulenquerschnitt ist aus zwei gebildet. Welches Profil ist zu wählen?

Aus der Tabelle. In der Tabelle reicht die Belastung P bis zu 10 t, im vorgeführten Falle ist P = 66,4 t.

Das Trägheitsmoment J ist der Belastung P proportional. Man findet J für 6,64 t und multipliziert den gefundenen Wert mit 10.

Legt man mit Hilfe des Lineals durch die Bogenteilung P = 6,64 eine Gerade, so erhält man für die Abszisse l = 5,5 m die Ordinate = 505 cm4 = J; für die angegebene Belastung ist J = 505 ∙ 10 = 5050 cm4. Man wählt zwei N. P. 22, deren Flächeninhalt F = 74,5 qcm ist. Die Materialspannung

Durch Berechnung findet sich das erforderliche Trägheitsmoment zu J = 2,5 – 66,4 ∙ 5,52 – 5030 cm4 (aus der Tabelle ergab sich J = 5050 cm4).

Nimmt man bei Gußeisen P = 1000000 kg/qcm und n = 8, ferner bei Kiefernholz E = 120000 kg/qcm und |681| n = 10 an, so bestehen zwischen den Trägheitsmomenten Je für Eisen, Jg für Gußeisen und Jh für Holz die Beziehungen:

Jg = 16/5 Je = 3,2 Je

und

Jh= 100/3 Je = 33,3 Je.

Man muß daher die aus der Tabelle Fig. 1 ermittelten Werte von J für einen gußeisernen Stab mit 3,2 und für einen hölzernen Stab mit 33,3 multiplizieren.

Beispiel 2. Eine gußeiserne Säule, nach Fig. 1b beansprucht, von 5 m Länge überträgt eine Last P von 25,0 t. Es sind die notwendigen Abmessungen des Säulenquerschnitts zu ermitteln.

Aus der Tabelle: Für die Belastung P = 2,5 t ist J = 157 cm4, für die angegebene Belastung 2,5 ∙ 10 t ist J = 157 ∙ 10 = 1570 cm4. Da es sich um eine gußeiserne Säule handelt, muß man den Wert von J = 1570 mit 3,2 multiplizieren und erhält Jg = 1570 ∙ 3,2 = 5024 cm4.

Die erforderliche Fläche gegen Druck (bei k = 500 kg/qcm)

F = 25000/500 = 50,0 qcm.

Dieser Forderung genügen nach den Tabellen der Gießereien entweder

  • 1. eine runde hohle Säule mit äußerem Durchmesser D = 200 mm, der Wandstärke S = 24 mm, Flächenquerschnitt F = 133,0 qcm, Trägheitsmoment J = 5344 cm4, Gewicht f. d. lfd. Meter = 96,2 kg

oder

  • 2. eine quadratische hohle Säule: die Seite a des Quadrats = 180 mm, J Trägheitsmoment = 5165 cm4, F Flächenquerschnitt = 117 qcm, Gewicht f. d. lfd. Meter = 84,5 kg.

Durch Berechnung ergibt sich das erforderliche Trägheitsmoment J = 8 ∙ P ∙ l2 = 8 ∙ 25 ∙ 52 = 5000,0 cm4 (J aus der Tabelle = 5024).

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