Titel: MIES: Ueber das Ausknicken stabförmiger Körper.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1912, Band 327 (S. 177–181)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj327/ar327056

ÜBER DAS AUSKNICKEN STABFÖRMIGER KÖRPER.

Von Otto Mies, Charlottenburg.

Inhaltsübersicht.

Erläuterung der Knickerscheinungen bei achsialer und nicht achsialer Kraftrichtung bezw. ursprünglich schwach gekrümmter Stabachse an dem Beispiel des an beiden Enden geführten und belasteten Stabes. Die Knickbedingung für beliebig gelagerte und belastete Stäbe. Definition der Knicksicherheit.

––––––––––

1. Ein gerader prismatischer Stab von vollkommen homogenem Material werde durch ein im Gleichgewicht befindliches System von Kräften, das im übrigen nach Lage, Richtung und Größe der Einzelkräfte beliebig ist, durchgebogen, ohne daß die Spannungen dabei an irgend einer Stelle die Elastizitätsgrenze überschreiten. Dabei nähern sich die Endpunkte der Stabachse einander. In diesem Zustande werde der Stab zwischen zwei unbewegliche spitze Stützen gebracht, deren Entfernung voneinander gerade gleich dem Abstand der Endpunkte der durchgebogenen Stabachse ist (Fig. 1). Dabei sollen die Spitzen der Stützen je einen Endpunkt der Stabachse berühren. Entfernt man jetzt das die Biegung hervorrufende Kräftesystem, so wird der Stab das Bestreben haben, sich wieder geradezurichten und die beiden Stützen mit zwei untereinander im Gleichgewicht stehenden Kräften P auseinanderzudrücken.

Textabbildung Bd. 327, S. 177

Die Größe dieser Kräfte ist, solange es sich um hinreichend kleine Durchbiegungen und um Beanspruchungen des Stabes unterhalb der Elastizitäts- bezw. Proportionalitätsgrenze handelt, von der Größe der Durchbiegungen unabhängig, was sich folgendermaßen zeigen läßt. Bedeuten x und y Abszisse und Ordinate der elastischen Linie des Stabes (Fig. 1), 5 deren Bogenlänge und p den Krümmungsradius an der Stelle x, y, so gilt für die Krümmung der Kurve

. . . . . 1)

Zwischen der Krümmung , dem Biegungsmoment Mb, dem in Frage kommenden Trägheitsmoment J des Stabquerschnittes und dem Elastizitätsmodul E seines Materials besteht die bekannte Beziehung

In unserem Falle ist, indem man dasjenige Biegungsmoment positiv in Rechnung setzt, welches positive Krümmung hervorruft, Mb = – P . y, so daß sich findet

. . . . 2)

Je flacher die elastische Linie verläuft, desto mehr nähert sich dem Wert 1. Vernachlässigt man bei schwachen Biegungen den Unterschied zwischen ds und dx, d.h. in Gleichung 2 neben unendlich kleinen Durchbiegungen unendlich kleine Größen dritter und höherer Ordnung, so hat man

und daraus mit

als Gleichung der elastischen Linie des zwischen die |178| Stützen geklemmten Stabes. Dazu kommen die Grenzbedingungen

y = 0 für x = 0 und x = l,

woraus folgt

bedeutet die größte Durchbiegung des Stabes, die von der Entfernung der Stützen abhängig, jedenfalls aber nicht gleich Null ist. Es muß also sein

oder

. . . . 4)

Die Kraft, mit der der Stab auf die Stützen drückt, ist also die sogen. Eulersche Knickkraft und, wie behauptet, innerhalb der angegebenen Grenzen von der Durchbiegung unabhängig. Die elastische Linie des Stabes geht in eine Sinuskurve über. Der Faktor k gibt die Anzahl der halben Wellen an, welche die Sinuslinie zwischen den Stützen bildet. Dieselbe ist durch das System der ursprünglich den Stab verbiegenden Kräfte und die Art bedingt, wie dieselben rückgängig gemacht wurden. Die kleinste Kraft P entsteht bei k = 1 in dem in Fig. 1 dargestellten Falle. Sie werde mit Pk bezeichnet.

Denkt man sich jetzt die bisher unbeweglichen Stützen auf ihrer Verbindungsgeraden verschieblich, so werden Stab und Stützen bei jedem mit dem Belastungszustand verträglichen Durchbiegungszustand des Stabes, unabhängig von der Größe der Durchbiegungen, im Gleichgewicht sein, wenn jede Stütze von außen mit einer Kraft P von der durch Gleichung 4 gegebenen Größe festgehalten wird. Dieses Gleichgewicht ist demnach indifferent. Sind die von außen auf die Stützen wirkenden Kräfte kleiner als P, so drückt der Stab die Stützen zurück und richtet sich gerade; sind sie größer, so findet der Stab in keiner Durchbiegungslage Gleichgewicht, die Durchbiegungen vergrößern sich, so daß schließlich die Voraussetzungen der Rechnung nicht mehr erfüllt sind, indem entweder die Elastizitätsgrenze überschritten oder die Krümmungen so groß werden, daß nicht mehr gesetzt werden darf.

Zusammenfassend kann man also sagen: Ein gerader prismatischer Stab aus homogenem Material, der durch in der Verbindungslinie der Endpunkte seiner Achse wirkende Druckkräfte belastet ist, wird, nachdem er durch irgend welche vorübergehend auftretende äußere oder innere Kräfte verbogen wurde, sich wieder geraderichten, wenn die Druckkräfte kleiner als die Eulersche Knickkraft sind, in irgend einem Durchbiegungszustand, der von den die Verbiegung einleitenden Kräften und der Art ihrer Entfernung abhängt, verharren, wenn die Druckkräfte gleich der Knickkraft sind, und sich über jedes zulässige Maß durchbiegen, wenn die Druckkräfte größer als die Knickkraft sind. Alles das gilt nur bei Spannungen unterhalb der Elastizitäts- bezw. Proportionalitätsgrenze und solange die Krümmungen der elastischen Linie noch gering sind.

Dieses einfache Verhalten eines geraden Stabes ist manchem Mißtrauen begegnet. Bauschinger1) sagt darüber: „Aber es ist schwer einzusehen, warum ein Stab, der unter Belastungen, welche unter jener Grenze2) liegen, gerade geblieben ist, nun plötzlich nach Ueberschreitung der Grenze sich biegen, und daß diese Biegung dann auch sogleich so rasch fortschreiten soll, daß der Bruch oder die völlige Durchbiegung erfolgt.“ Dabei übersieht er offenbar, daß ein gerader homogener Stab unter achsialer Belastung, auch wenn die Kräfte größer als die Eulersche Knickkraft sind, sich erst durchzubiegen imstande ist, nachdem die Biegung durch andere Kräfte eingeleitet ist. Solange solche Kräfte nicht auftreten, wird der Stab auch durch Druckkräfte, die größer als die Eulersche Knickkraft sind, nur zusammengedrückt werden können. Aber er befindet sich unter ihrer Wirkung in einem labilen Gleichgewichtszustande. Denn auch die kleinste zufällig hervorgerufene Durchbiegung kann nicht wieder rückgängig gemacht werden, sondern vergrößert sich durch die Wirkung der Druckkräfte unaufhaltsam: der Stab knickt.

Bei Clebsch3) findet sich der Satz: „Es kann also Biegung auftreten, und zwar jede beliebige, die Säule kann in unendlich viel verschiedenen Krümmungen ihr Gleichgewicht finden. Dies Resultat ist so offenbar absurd, daß es wunderbar erscheinen kann, wenn man dasselbe eher auf alle Weise sich annehmbar zu machen gestrebt hat, statt den Grund eines solchen Resultats in dem Nächstliegenden zu suchen, in einer falschen Voraussetzung.“ Warum das Resultat „absurd“ sein soll, ist freilich nicht einzusehen. Es ist ja nur nötig, daß die Stabachse in eine elastische Linie übergeht, deren Krümmung an jeder Stelle ihrer Ordinate proportional ist, wie es bei flachen Sinuskurven sehr angenähert der Fall ist.

Vorsichtiger drückt sich Grashof4) aus: „Das Ergebnis der vorhergehenden Untersuchung, daß in allen Fällen erst bei bestimmter Größe der äußeren Kraft P irgend eine Biegung des Stabes möglich wird, daß aber, wenn P diesen Wert hat, die Größe der Biegung unbestimmt bleibt, erscheint so auffallend, daß es von Interesse ist, zu prüfen, ob und inwiefern dieses Ergebnis etwa nur von den Ungenauigkeiten der Entwicklung herrührt.“

2. Es ist ohne weiteres klar, daß die im vorigen Artikel angestellte Untersuchung, die streng nur für unendlich kleine Durchbiegungen gilt, über den Zusammenhang endlicher Durchbiegungen mit der Belastung nichts Zuverlässiges aussagen kann. Schon Lagrange, der sich zuerst nach Euler mit dem Problem der Knickung |179| beschäftigte,5) hat durch Integration der genauen Gleichung für die Krümmung des Stabes (Gleichung 2) diesen Zusammenhang festgestellt. Es findet sich nämlich aus Gleichung 2 durch Multiplikation mit dy und Integration

und hieraus mit Hilfe der Grenzbedingung

y = f für dy = 0 oder ds = dx,

wo f die größte Durchbiegung des Stabes bezeichnet,

oder, mit

und

Mit dem Ansatz y = f . sin φ folgt

wozu die Grenzbedingungen

φ = 0 bezw. = kπ für s = 0 bezw. = l

hinzukommen. Die zweite Integration erfolgt nach Reihenentwicklung, indem man schreibt

woraus nach Entwicklung der Kosinuspotenzen in Ausdrücke mit Kosinus der Vielfachen von φ, welche nach Integration durch Anpassen an die Grenzbedingungen verschwinden, mit Hilfe der zweiten Grenzbedingung folgt

. . . . . 5)

Wendet man diese Gleichung auf den zwischen zwei Stützen geklemmten Stab (Fig. 1) an, so findet sich, da die größte Ausbiegung f der Stabachse nicht gleich Null ist,

oder, im Gegensatz zu Gleichung 4

. . . . 6)

Die Kraft, mit der der Stab auf die Stützen drückt, ist also streng genommen nicht von der Durchbiegung unabhängig, sondern um so größer, je größer die Durchbiegungen sind. Sie nähert sich aber bei abnehmender Durchbiegung dem durch Gleichung 4 angegebenen Wert als untere Grenze. Das Anwachsen der Druckkräfte ist jedoch innerhalb der technisch interessierenden Größen der Durchbiegungen so gering,6) daß die im vorigen Artikel gegebenen Erklärungen für die technischen Bedürfnisse hinreichend genau sind. Um dies an einem Beispiel zu erläutern, ist in Fig. 2 die Abhängigkeit der als Ordinate aufgetragenen Druckkraft P von den als Abszissen gezeichneten größten Durchbiegungen f eines 1 m langen Flußeisenstabes mit kreisförmigem Querschnitt von 1 cm ∅ dargestellt. Für die im Art. 1 behandelte Annäherung ergibt sich die Gerade kg, in der Figur mit ab bezeichnet; dieselbe kennzeichnet die Unabhängigkeit der Durchbiegungen von der wirkenden Druckkraft. Demgegenüber stellt die flache Kurve ab' den der strengen Untersuchung entsprechenden Zusammenhang zwischen Durchbiegungen und Druckkräften dar. Dieselbe findet sich aus der Lösung von Gleichung 5 nach f, welche für k = 1 lautet7)

wo

Textabbildung Bd. 327, S. 179

Damit sich die Kurve deutlich von der Geraden abhebt, ist der Maßstab der Kräfte sehr groß gewählt. Das Anwachsen der Druckkräfte mit den Durchbiegungen ist so gering, daß im Punkt c schon eine Spannung von 3000 kg/qcm herrscht, nachdem die Druckkraft sich um nicht viel mehr als 1 v. T. vergrößert hat.

Zusammenfassend kann man die Ergebnisse der strengen Untersuchung folgendermaßen kennzeichnen: Solange die Druckkräfte kleiner sind als die Eulersche Knickkraft, befindet der Stab sich im stabilen Gleichgewicht. Sind die Druckkräfte größer als die Knickkraft, so ist der Stab im geraden Zustand im labilen Gleichgewicht. Eine zufällige beliebig kleine Verbiegung kann nicht wieder rückgängig gemacht werden, sondern wird sich unter Wirkung der Druckkräfte notwendigerweise vergrößern. Nachdem dieselbe jedoch eine bestimmte Größe erreicht |180| hat, findet der Stab wieder eine stabile Gleichgewichtslage, indessen in den technisch interessierenden Fällen auch bei geringen Ueberschreitungen der Eulerschen Knickkraft erst bei so großen Durchbiegungen, daß die Ueberschreitung der Proportionalitätsgrenze zu befürchten ist. Die im vorigen Artikel gegebenen Erklärungen treffen demnach bei technisch verwendeten Stäben durchweg mit genügender Genauigkeit zu. Im folgenden soll nur von solchen Stäben die Rede sein.

3. Es ist klar, daß eine experimentelle Bestätigung der geschilderten Erscheinungen nur annäherungsweise möglich ist, wobei die Annäherung um so besser ist, je genauer die Voraussetzungen der Rechnung, nämlich Homogenität des Stabmaterials, Geradlinigkeit der Stabachse sowie deren Zusammenfallen mit der Kraftrichtung, erfüllt sind. Man wird sich demnach zu fragen haben, welche Folgen kleine Abweichungen von den Voraussetzungen nach sich ziehen.

Textabbildung Bd. 327, S. 180

Es läßt sich ohne weiteres einsehen, daß jede der genannten Abweichungen für sich bewirkt, daß der Stab sich schon unter einer beliebig kleinen Druckkraft krümmt. Von dem besonderen Gleichgewichtszustande des Stabes bei gerader Stabachse, der bisher das Kriterium der Knickkraft ergab, läßt sich hier nicht mehr sprechen. Es ist also zu untersuchen, ob es in diesem Falle überhaupt noch eine Knickkraft gibt, und wie sie gegebenenfalls zu definieren ist.

Es sei zunächst angenommen, daß die Druckkräfte an den Enden des Stabes in einer Symmetrieebene desselben, parallel zur Stabachse, in einer Entfernung e von derselben wirken (Fig. 3). Dann findet sich aus der Differentialgleichung der elastischen Linie des schwach gekrümmten Stabes

mit

als Gleichung der elastischen Linie

woraus durch Anpassen an die Grenzbedingungen

y = 0 für x = 0 und x = l

folgt

. . . . 7)

Diese Gleichung stellt die Abhängigkeit zwischen der Druckbelastung P des Stabes und der Durchbiegung an beliebiger Stelle dar. Man erkennt leicht, daß y = 0 ist, wenn P = 0, und daß y = ∞, wenn , d.h. gleich der Eulerschen Knickkraft ist. Die letztere Beziehung hat jedoch keine physikalische Bedeutung, da Gleichung 7 nur für schwache Biegungen physikalisch gültig ist. Man kann aus ihr zunächst nur folgern, daß der Stab schon unter einer Belastung, die kleiner ist als die Eulersche Knickkraft große Durchbiegungen erfährt vorausgesetzt, daß er nicht schon vorher über die Proportionalitätsgrenze hinaus beansprucht ist. Insofern ist in diesem Falle die Eulersche Knickkraft nichts weiter als eine – freilich sicher angebbare – obere Grenze für die gefährliche Belastung des Stabes.

Aus Gleichung 7 erhält man für die Durchbiegung f in der Stabmitte mit

7a)

Diese Beziehung ist in Fig. 4 dargestellt. Es folgt aus ihr, daß mit von Null anwachsender Druckbelastung auch die Durchbiegungen wachsen, zuerst langsam, dann schneller, um schließlich bei d.h. wenn P gleich der Eulerschen Knickkraft ist, unendlich groß zu werden. Man erkennt, daß der Stab unter jeder Belastung, die kleiner als die Eulersche Knickkraft ist, sich im stabilen Gleichgewicht befindet, daß der Grad der Stabilität aber mit wachsender Belastung immer kleiner wird.8) Für größere Druckbelastungen als die Eulersche Knickkraft gibt es zwar auch noch Gleichgewichtslagen des Stabes, dieselben sind jedoch labil. Man kann also einen Stab mit exzentrischer Druckbelastung nicht dadurch stabilisieren, daß man eine Durchbiegung nur im Sinne der Exzentrizität verhindert. Der Stab befindet sich vielmehr schon unter einer Druckbelastung, die nur wenig größer |181| als die Eulersche Knickkraft ist, im labilen Gleichgewicht, sobald seine Durchbiegung entgegen dem Sinne der Exzentrizität durch irgend eine Ursache die Größe e der Exzentrizität überschritten hat.

In Fig. 4a ist für den hauptsächlich interessierenden Bereich von für zwei verschiedene Exzentrizitäten nach der Gleichung 7a der Zusammenhang der Durchbiegungen und Druckbelastungen durch zwei Kurven l und m dargestellt. Die Kurven verlaufen ähnlich wie der entsprechende Ast der Kurve in Fig. 4 und schmiegen sich, je kleiner die Exzentrizität ist, um so enger der für den Eulerschen Fall geltenden Ecke oab (s. Fig. 2) ein.

Textabbildung Bd. 327, S. 181

Um zu ermitteln, bis zu welchem Punkt diese Kurven physikalische Bedeutung haben, kann man Kurven gleicher Spannung in Fig. 4a einzeichnen, da ja Durchbiegung und Druckkraft bei gegebener Exzentrizität die Spannung eindeutig bestimmen. Diese Kurven gleicher Spannung sind Hyperbeln.9) Ihrer sind in Fig. 4a zwei, r und q, je eine für eine kleine und eine große Spannung, zur Durchbiegungskurve m gehörig, eingezeichnet. Die Spannung an einer bestimmten Stelle der Durchbiegungskurve wird durch die dort schneidende Spannungshyperbel angegeben. Demnach können die Durchbiegungskurven nur bis zu dem Punkte physikalische Bedeutung haben, in dem sie von der für die Proportionalitätsgrenze gezeichneten Spannungshyperbel geschnitten werden.

Unter Umständen sind sie aber schon vorher physikalisch bedeutungslos geworden, nämlich dort, wo die Durchbiegung so groß wird, daß man nicht mehr von einer schwach gekrümmten Stabachse sprechen kann. Wäre z.B. rr in Fig. 4a die zur Proportionalitätsgrenze gehörige Spannungshyperbel, so wäre die Kurve m bis zum Punkt A gültig, da in diesem Punkt noch kleine Durchbiegungen herrschen. Man erkennt, daß in diesem Fall die Druckspannungen für den Stab gefährlich werden und von einer eigentlichen Knickung nicht die Rede sein kann. Läge jedoch die Proportionalitätsgrenze des Stabmaterials so hoch, daß qq die zugehörige Spannungshyperbel ist, so ist die Kurve m bis zum Punkt B gültig, wenn der Stab sich dort noch in schwach gekrümmtem Zustand befindet. In diesem Falle könnte man auch jetzt noch von Knickung sprechen, da die geringe Stabilität des Stabes für die Gefährlichkeit seines Belastungszustandes kennzeichnend ist. Eine bestimmte Knickkraft aber läßt sich jetzt nicht mehr angeben.

Die der Einfachheit halber für zur ursprünglichen Stabachse parallele Kräfte entwickelten Erscheinungen werden prinzipiell nicht dadurch beeinflußt, daß man allgemeiner annimmt, daß die Kräfte einen kleinen Winkel mit der Achse einschließen.10) Ganz ähnliche Kurven ergeben sich auch für die Durchbiegungen ursprünglich nicht ganz gerader Stäbe.11) Nur gehen diese nicht mehr durch den Nullpunkt des Koordinatensystems, sondern schneiden auf der Abszissenachse die ursprüngliche Durchbiegung aus (Kurve n in Fig. 4a).

Wie sich der Stab schließlich bei Inhomogenität des Materials verhält, läßt sich natürlich nur unter Zugrundelegung bestimmter Annahmen über die Art der Inhomogenität untersuchen. Immerhin kann man schließen, daß nicht zu grobe Ungleichheiten des Materials in gewissen Grenzen ähnliche Folgen haben wie Exzentrizität des Kraftangriffs und ursprüngliche Krümmung des Stabes. Wenn man also in solchen Fällen, wo kleine Abweichungen von den Voraussetzungen sicher oder wahrscheinlich sind, trotzdem die Knicklast aus der Eulerschen Formel bestimmt, so hat man im Auge zu behalten, daß die Knickgefahr des Stabes stets schon bei einer Kraft vorhanden ist, welche kleiner als die berechnete Knickkraft ist, und diesen Umstand bei der Wahl des Sicherheitsgrades zu berücksichtigen.

(Fortsetzung folgt.)

|178|

Bauschinger, Zerknickungsversuche. Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der Kgl. Techn. Hochschule in München, 1837, 15. Heft, S. 21.

|178|

sc. die Eulersche Knickkraft.

|178|

Clebsch, Theorie der Elastizität fester Körper, 1862, S. 407.

|178|

Grashof, Theorie der Elastizität und Festigkeit, 1878, S. 168.

|179|

Lagrange, Sur la figure des colonnes, Miscellanea Taurinensia, Tom. V. 1770 bis 73, S. 123.

|179|

Ueber die Konvergenz der Reihe: Gleichung 5, vergl. Grashof, a. a. O. Art. 116, S. 171.

|179|

Vergl. hierzn: Schneider, Zur Theorie der Knickfestigkeit, Zeitschr. d. Österreich. Ing.- und Arch.-Vereins 1901, S. 633.

Ueber eine angenäherte Berechnung von f siehe H. Lorenz, Bemerkungen zur Eulerschen Knicktheorie, Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1908, S. 827.

|180|

Ueber die experimentelle Veranschaulichung des Grades der Stabilität gedrückter Stäbe vergl. Sommerfeld, Eine einfache Vorrichtung zur Veranschaulichung des Knickungsvorganges, Zeitschr. des Vereins deutscher Ingenieure, 1905, S. 1320.

|181|

Prandtl, Die richtige Knickformel, Zeitschr. des Vereins deutscher Ingenieure, 1900, S. 1132.

|181|

Föppl, Vorlesungen über technische Mechanik, III. Band, 2 Aufl., S. 364.

|181|

Föppl, Vorlesungen über technische Mechanik, III. Band, 2. Aufl., S. 369.

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