Titel: MIES: Die Knicksicherheit von Kolbenstangen.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1912, Band 327 (S. 291–296)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj327/ar327096

DIE KNICKSICHERHEIT VON KOLBENSTANGEN.

Von Otto Mies, Charlottenburg.

(Fortsetzung von S. 275 d Bd.)

3. Die einfachste der in dem Schema (S. 275) zusammengestellten Konstruktionen ist die einer beiderseits geführten Kolbenstange einer Einzylindermaschine (Schema Nr. 1 u. 2). Dieselbe ist bereits früher bei den Beispielen des Artikels 63) und zwar unter e behandelt. Fig. 9 daselbst veranschaulicht die Art der Belastung, die mit den im vorigen Artikel aufgestellten Voraussetzungen über die Kräftewirkungen an Kolbenstangen übereinstimmt. Die Knickbedingung ist in diesem Falle durch Gleichung 11 des erwähnten Artikels dargestellt. Setzt man mit Rücksicht auf Gleichung 8 und 8a dieses Artikels

. . . . . . . 2)

wo den Sicherheitsgrad gegen Knicken bedeutet, so findet sich als Knickbedingung

|292|

3)

d.h. eine Gleichung, aus der sich g durch graphische Auflösung in jedem speziellen Falle leicht finden läßt.

Zur allgemeinen Untersuchung der durch Gleichung 3 dargestellten Beziehung der Knickkraft zu den Konstruktionsdaten sei zur Abkürzung gesetzt

und . . . . 4)

Textabbildung Bd. 327, S. 292

und diese Abkürzungen nebst der Beziehung in Gleichung 3 eingeführt, so daß sich ergibt

. 3a)

Hierin erscheint ϕ als Funktion von x und ε. Man erkennt leicht, daß der Einfluß von ε nur gering sein kann, denn das Glied in Gleichung 3 hat ja gegenüber nicht einmal die Größe der Durchbiegung eines einseitig eingespannten, am Ende belasteten Stabes gegenüber seiner Länge.

Für x = 0 wird sin ϕ = 0 und ϕ = π, d.h. der Belastungsfall geht in den Eulerschen Fall mit Endbelastung und freier Lagerung der Stabenden über. Für x = ∞, d.h. b = ∞ wird cos ϕ = 0 und , d.h. der Belastungsfall geht in den Eulerschen Fall mit einseitiger Einspannung des Stabes über; die Einspannung erscheint durch den sich nicht verbiegenden unendlich langen Stabteil b hervorgerufen. Für Werte von x zwischen 0 und ∞ liegt ϕ zwischen π und . Die Abhängigkeit zwischen ϕ und x ist in Fig. 8 durch die Kurve a für den Wert ε = 1 dargestellt, indem als Ordinaten die Winkel ϕ, als Abszissen die Verhältnisse aufgetragen wurden. Die Kurve beginnt beim Wert π auf der ϕ-Achse und verläuft asymptotisch an die Gerade . Mit Hilfe dieser Kurve läßt sich bei gegebenem x, indem man den Einfluß von ε vernachlässigt, die Lösung der Gleichung 3a sofort ablesen, so daß sich aus dem gefundenen Wert von ϕ mit Hilfe der Beziehung die Knickkraft und hieraus die Knicksicherheit bestimmen läßt.

Um den Einfluß der zur Stangenachse senkrechten Kraft P tg ϕ zu erkennen, sei die Knickbedingung unter Vernachlässigung dieser Kraft ermittelt. Dabei ergibt sich der früher im Artikel 6 unter a3) behandelte Belastungsfall dessen Knickbedingung daselbst durch Gleichung 10 dargestellt wird. Mit den bekannten Bezeichnungen folgt daraus

. . . 4)

Auch hier wird ϕ = π für x = 0 und für x = ∞. Die Abhängigkeit zwischen ϕ und x ist in Fig. 8 durch die Kurve b dargestellt, die ebenfalls beim Wert π auf der ϕ-Achse beginnt und asymptotisch an die Gerade verläuft, jedoch oberhalb der Kurve a. Daher ist dieser Belastungsfall weniger gefährlich als der frühere. Z.B. findet sich aus Fig. 8, daß man bei einer Kolbenstange, bei der ist, bei Vernachlässigung der Kraft P tg ϕ eine Knickkraft erhält, die um mehr als 40 v. H. zu groß ist.

Textabbildung Bd. 327, S. 292

4. Es werde jetzt die Knickbedingung für die Stangenkonstruktion Nr. 3 des Schemas ermittelt. Die Art der Belastung ist aus Fig. 9 ohne weiteres zu entnehmen, aus der auch die Bedeutung der Bezeichnungen hervorgeht. |293| Für die beiden zur Stangenachse senkrechten Auflagerkräfte findet sich aus den Gleichgewichtsbedingungen

,

so daß die Differentialgleichungen der drei Aeste der elastischen Linie sind

,

aus denen nach Integration folgt








5)

wo

Textabbildung Bd. 327, S. 293
ya = 0 bzw. yc = 0 bzw. yc = 0 für xa = 0 bzw. xb = 0 bzw. xc = c
ya = yb xa = a und xb = b
bzw. xa = a bzw. xb = b
xb = 0 und xc = 0
xc = 0.

so daß folgt

,

woraus durch Elimination von und tg ϕ2 sich die Gleichungen ergeben

Dieses System homogener linearer Gleichungen dient in bekannter Weise zur Aufstellung der Knickbedingung. Kennzeichnet man die die Knickung herbeiführenden Kräfte durch den Index k und setzt man den Gleichungen 5a entsprechend

so ergibt sich als Knickbedingung die Gleichung

Sind P, P1 und P2 die im normalen Betrieb wirkenden Kräfte, so ist nach Artikel 8 der erwähnten Arbeit das gefährlichste System von Knickkräften dasjenige, welches außer Gleichung 6 noch die Bedingungen

und . . . 7)

erfüllt, wo als Sicherheitsgrad gegen Knicken bezeichnet wurde. Setzt man hiernach mit Rücksicht auf die Gleichungen 5a und 5b

und . . . . 7a)

und führt diese Beziehungen in die Gleichung 6 ein, so erhält man die Gleichung 8 (S. 294) aus der man durch graphische Auflösung, indem man für einige Werte für die Determinante berechnet, deren Werte in Abhängigkeit von aufzeichnet und die Nullstelle der so entstehenden Kurve sucht, unschwer bestimmen kann.

|294|

. . . . . . . 8)

5. Um auch in diesem Falle den Einfluß der zur Stabachse senkrechten Kräfte P tg ϕ zu erkennen, sei unter Vernachlässigung derselben die Knickbedingung aufgestellt. Es ergibt sich der früher unter f im Artikel 63) behandelte Belastungsfall, dessen Knickbedingung durch Gleichung 15 daselbst dargestellt ist, aus der mit den Beziehungen 15 und 15a sowie mit der Abkürzung

. . . . . . . 9)

folgt

. . . . 10)

Textabbildung Bd. 327, S. 294

Die durch diese Gleichung bestimmte Abhängigkeit zwischen ϕ und ψ ist in Fig. 10 für eine Anzahl von Werten des Verhältnisses veranschaulicht. Jeder Punkt einer solcher Kurve gibt zwei zusammengehörige Werte von ϕ und ψ, d.h. von Pk und P2k an, welche die Knickbedingung erfüllen. Für μ = 0, d.h. b = ∞ ergibt sich als Spezialfall die Gerade , entsprechend einer Einspannung des Stabteiles b. Für μ = ∞, d.h. b = 0, findet sich die Gerade ϕ = π, entsprechend dem an den Enden drehbar gelagerten Stab. Entsprechendes gilt für den Winkel ψ, so daß ϕ und ψ zwischen und π liegen.

Das gefährlichste System von Knickkräften ist durch die Gleichungen 7 bestimmt. Für dieselben nimmt das Verhältnis den Wert

. 11)

an. Dieses Verhältnis ist aber stets bekannt, so daß man durch einen Strahl, den man unter der durch Gleichung 11 gegebenen Neigung durch den Nullpunkt des Koordinatensystems zieht, auf der ϕ – ψ-Kurve denjenigen Punkt schneidet, der die gefährlichsten Knickkräfte bestimmt. Einige solcher Strahlen sind in Fig. 10 eingezeichnet.

Um die Gleichung 8 auf eine der Gleichung 10 entsprechende Form zu bringen, seien noch außer der durch Gleichung 9 bestimmten die Abkürzungen

und . 12)

eingeführt, so daß sich aus Gleichung 8 nach einigen Umrechnungen Gleichung 13 (S. 295) ergibt.

Diese Gleichung stellt gegenüber der angenäherten Gleichung 10 die genaue Beziehung zwischen ϕ und ψ bei gegebenen Werten von μ, v und ε dar. Man kann dieselbe ebenfalls durch Kurven darstellen, deren Vergleich mit den Kurven der Fig. 10 den Einfluß der Kräfte P tg ϕ zeigt.

|295|

. . . . . 13)

In den Fig. 11 bis 13 sind einige solcher Kurven gezeichnet und zum Vergleich die Näherungskurven nach Fig. 10 eingestrichelt. Die Kurven sind nur bis zu dem kleinstmöglichen Wert von ϕ, der sich für P1k = 0 ergibt, gezeichnet, indem berücksichtigt wurde, daß das kleinste vorkommende Verhältnis nach Gleichung 11 mit den Bezeichnungen der Gleichungen 12 ist

. . . . . 14)

Textabbildung Bd. 327, S. 295

Die genaueren Kurven verlaufen teilweise oberhalb, teilweise unterhalb der Näherungskurven, ergeben also je nach der Größe des Verhältnisses größere oder kleinere Knicksicherheit als die Näherungskurven. Das kommt daher, daß die durch die Kräfte P tg ϕ hervorgerufenen Biegungen je nach den Abmessungen der Stange die Knickung einmal unterstützen, einmal ihr entgegenwirken.

Unter der Voraussetzung, daß die vorliegende Belastungsart zu denjenigen gehört, auf welche die in Artikel 8 der erwähnten Arbeit aufgestellte Definition der Knicksicherheit beschränkt ist, gelten auch hier die Gleichungen 7 und 7a, so daß man die Knickkräfte auf der ϕ = ψ-Kurve durch einen Strahl unter der Neigung

Textabbildung Bd. 327, S. 295

bestimmen kann. Es muß jedoch zunächst festgestellt werden, ob die Belastungsart den Voraussetzungen entspricht. Dazu ist nach früheren Erörterungen 3) nötig, daß

. . . . . . 15)

Nach den bekannten Beziehungen ist

|296|

.

woraus folgt

und mit den früher eingeführten Abkürzungen

,

so daß sich mit Rücksicht auf Gleichung 15 ergibt

. . . . . . 16)

Diese Forderung ist bei den Kurven der Fig. 11 bis 13 durchweg erfüllt, wie man sich leicht durch Untersuchung der Neigungswinkel der Tangenten an die Kurven überzeugen kann.

Der Einfluß der Stangenabmessungen auf die Knicksicherheit, der in den Koeffizienten μ, v und ε enthalten ist, läßt sich ebenfalls an den Kurven der Fig. 11 bis 13 erkennen. Wie bei dem einfacheren im Artikel 3 behandelten Belastungsfalle ist auch hier der Einfluß des Verhältnisses der Trägheitsmomente gering (Fig. 11). Am stärksten macht sich die Wirkung von geltend (Fig. 12). Je größer a im Verhältnis zu b wird, desto größere Knicksicherheit ergibt sich. Im selben Sinne macht sich das Verhältnis geltend (Fig. 13), vorausgesetzt, daß sein Wert nicht sehr verschieden von 1 ist.

Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß man die Kurven der Fig. 10 bis 13 mit Hilfe der Strahlen in praktischen Fällen zur angenäherten Bestimmung der Knicksicherheit verwenden kann, indem man zwischen den Kurven und Strahlen die Lage der gesuchten Punkte abschätzt.

Textabbildung Bd. 327, S. 296

(Fortsetzung folgt.)

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