Titel: NATALIS: Druck- und Knickfestigkeit.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1919, Band 334 (S. 81–85)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj334/ar334022

Druck- und Knickfestigkeit.

Von Fr. Natalis, Dr. Ing., Berlin-Siemensstadt.

(Schluß von S. 74 d. Bd.)

Graphische Ermittelung der Knicklast.

Die Knicklast Pk= mP läßt sich auch in nachstehender einfachen Weise graphisch ermitteln: Es ist

Textabbildung Bd. 334, S. 81

In dieser Formel sind k0 und F bekannt und eine Funktion von und . Bei Herleitung der Formel (3) wurde nun schon darauf hingewiesen, daß nicht das Verhältnis , sondern der Wert (Abb. 8) als Einheitsmaß für die Schlankheit des Stabes gewählt werden sollte. Dadurch ist es möglich, die Werte für beliebige Materialien und für alle Werte von an einer einzigen Kurve abzulesen.

Soll daher für einen beliebigen Wert die. Knicklast ermittelt werden, so ist zunächst dieser Wert mit zu multiplizieren. Dieses geschieht am einfachsten graphisch nach Abb. 8.

|82|

Auf der durch die Abszisse 1,0 gehenden Senkrechten AB ist eine Skala für aufgetragen und für mehrere Werte von sind Strahlen durch den Punkt O gelegt, zum Beispiel der Strahl für (Holz). Nach den Versuchen auf S. 72 ergab sich für Kiefernholz oder rund 250. Ist nun zum Beispiel und führt man den Linienzug CDE, so ist OE = Konstante • AC.

Der Strahl OD muß nun so gelegt sein, daß die Konstante gleich ist. Dem Schnittpunkt F des Strahles OD mit AB entspricht der Wert , für welchen ist; daher ist . Für ist daher .

Für andere Werte von ergeben sich folgende Werte für

200 250 300 350 385 400 450
(Holz) (Stahl)
44,4 49,7 54,6 58,9 61,7 62,8 66,8

so daß sich die den verschiedenen Materialkonstanten entsprechenden Strahlen teicht einzeichnen lassen.

Ist mit Hilfe des in Frage kommenden Leitstrahles für einen Wert der Wert ermittelt, so ist durch die Führung des Linienzuges DGH auch der Wert – in dem Beispiel = 0,81 – zu finden. Dieser Wert ist sodann in obige Gleichung

einzusetzen. Für einen anderen Wert entsprechend ergibt der Linienzug JKLM den Wert , also mP = 0,392 k0F.

Ist die Last mP, nicht aber der Querschnitt des Stabes bekannt, so muß man letzteren durch Wiederholung des Verfahrens ermitteln.

Die elastische Linie und die seitliche Ausbiegung des Stabes unter der Last.

Es möge zurückgegriffen werden auf die Entwicklung der Eulerschen Formel, deren Gültigkeit für große Werte von unbestritten ist.

Die Differentialgleichung der elastischen Linie (Abb. 9), aus der sich die Eulersche Formel ergibt, lautet:

. . . . (8)

worin P eine Last beliebiger Größe bedeuten möge. Sie wird, wegen der Randbedingungen, x = 0, y = 0 und x = l, y = 0, und weil für die Ausbiegung v = a beträgt, durch

. . . . . . (9)

erfüllt. Alsdann wird

Da andererseits nach Gl. (8)

ist, so ergibt sich

. . . . . . (10)

das heißt: Wenn überhaupt eine Durchbiegung des Stabes erfolgt , so kann sie nur unter Wirkung einer ganz bestimmten Last Pk auftreten. Die Berechnung der größten Ausbiegung a für aus Gl. (9) ist jedoch nicht möglich. Hieraus ergibt sich erstens, daß für eine Last P < Pk überhaupt keine Ausbiegung entsteht, zweitens, daß für die ganz bestimmte Last das Gleichgewicht der inneren und der äußeren Kräfte für jeden beliebigen Wert von a vorhanden ist, und drittens, daß unter einer Last P < Pk die Ausbiegung fortgesetzt zunimmt, bis der Stab zu Bruch geht. Im letzteren Falle würde sich a = ∞ ergeben. Dieses ist jedoch nicht wörtlich aufzufassen, denn die Ausbiegung des Stabes kann im Verhältnis zu seiner Länge einen gewissen praktisch begrenzten Wert nicht überschreiten. Die Schlußfolgerungen der Rechnung gelten daher nur für verhältnismäßig geringe Ausbiegungen des Stabes und für einen ursprünglich genau geraden symmetrischen und homogenen Stab. Unter diesen Voraussetzungen sind aber die Entwicklung der Formeln und die daraus gezogenen Schlußfolgerungen durchaus einwandfrei.

Textabbildung Bd. 334, S. 82

Daß für die Eulersche Knicklast die Ausbiegung einen beliebigen Wert annehmen kann, erscheint zunächst wunderbar, ist aber leicht durch folgende Betrachtung zu erklären:

Ist bei einer bestimmten Ausbiegung a Gleichgewicht zwischen den äußeren Kraft- und den inneren Biegungsmomenten vorhanden und wird die Ausbiegung künstlich auf den Wert na vergrößert, so werden alle inneren Spannungen auf den n-fachen Betrag erhöht, aber gleichzeitig auch die äußeren Biegungsmomente für jeden Stabquerschnitt auf den n-fachen Betrag vergrößert. Der Stab befindet sich daher in einem indifferenten Gleichgewicht. Wird die Kraft um ein geringes verkleinert, so federt der Stab in seine Nullage zurück, wird Pk um ein geringes vergrößert, so wird eine kleine anfängliche Ausbiegung sich immer mehr vergrößern, bis der Bruch erfolgt.

Die aus der Entwicklung der Eulerschen Formel gezogene Schlußfolgerung, daß ein auf Knicken beanspruchter Stab keine meßbare seitliche Ausbiegung erleiden darf, und daß einer allmählich wachsenden Last nicht eine allmählich steigende Ausbiegung entspricht, wird jedoch durch den praktischen Versuch scheinbar nicht in vollem Maße bestätigt.

|83|

So zeigt Abb. 10 für zwei Stahlrohre von

I. 304 cm Länge, 65 mm φ und 1,46 mm Wandstärke

II. 294 cm Länge, 80,1 mm φ und 1,98 mm Wandstärke

die seitlichen Ausbiegungen in mm als Funktion der Last. Hiernach ergibt sich, daß mit zunehmender Last die Ausbiegung, wenn auch sehr stark, aber doch nicht plötzlich bis zum Bruch anwächst.

Dieser Widerspruch könnte darauf zurückgeführt werden, daß einerseits der Elastizitätsmodul E nicht absolut konstant ist, sondern sich mit zunehmender Spannung etwas ändert, andererseits darauf, daß der Stab entweder nicht völlig symmetrische Querschnitte besaß, oder inhomogen war oder schon vor der Belastung geringe Krümmungen aufwies. Die Veränderung von E ist unerheblich.

Von ganz wesentlichem Einfluß sind dagegen etwaige Krümmungen des Stabes vor der Belastung oder Ungleichheiten in der Wandstärke (zum Beispiel bei einem Rohr) oder in der Qualität des Materials.

Textabbildung Bd. 334, S. 83

Zunächst ist es einleuchtend, daß auch ein durchaus geradliniger Stab erst bei einer bestimmten Ausbiegung a zu Bruch geht. Diese Ausbiegung a wird für große Werte von , bei denen die Druckspannung gegenüber der Biegungsspannung vernachlässigt werden kann, folgendermaßen berechnet:

worin e der Abstand der äußersten Faser von der Mittellinie des Querschnittes ist.

. . . . (11)

Für kleine Werte von muß außer der Biegungsspannung auch die Druckspannung k berücksichtigt werden. Da beide zusammen den Wert k0 nicht überschreiten dürfen, so ergibt sich die Biegungsspannung zu k0 – k. In der Abb. 1. S. 71 ist der Wert durch den Abstand eines Punktes der Kurve von der Abszissenachse und der Wert durch den Abstand des Kurvenpunktes von der Geraden gegeben. Es ist ferner

Pk = k F und

. . . (12)

Diese Gleichung gibt denselben Wert von a wie Gl. (11), wenn – bei langen Stäben – k gegen k0 im Zähler vernachlässigt werden kann und gesetzt wird.

Gleichung (12) führt noch zu folgender wichtigen Betrachtung: Ist für einen bestimmten Wert von das Verhältnis nach Gl. (7) bzw. Abb. 1 bestimmt, so ist die größte zulässige Ausbiegung a proportional dem Wert . Für nachstehende massive bzw. dünnwandige Querschnitte ergibt sich dieser Wert zu:

Textabbildung Bd. 334, S. 83
Textabbildung Bd. 334, S. 83

Da nun im Flugzeug seitliche Ausbiegungen durch Erschütterungen oder äußere Kräfte entstehen können, so ergibt sich aus obiger Tabelle, daß unter der Knicklast die Hohlquerschnitte eine doppelt so große Ausbiegung |84| zulassen als die massiven und daß die quadratischen mal so günstig sind als die runden, da bei ihnen mehr Material in der äußeren Faser liegt.

Nunmehr soll der Fall einer exzentrischen Belastung untersucht werden. Dabei soll aber nicht ein gerader Stab vorausgesetzt werden, sondern ein Stab, welcher schon vor der Belastung schwach gekrümmt war und eine geringe Ausbiegung b (Abb. 11) zeigte. Hierbei ist unwesentlich, nach was für einer Kurve der Stab gekrümmt war. Es kann daher zur Vereinfachung der Rechnung angenommen werden, daß der Stab nach einer Kurve gekrümmt war, die der Biegungskurve nach der Belastung ähnlich ist. Dann ist, wenn b die ursprüngliche Exzentrizität und a die zusätzliche elastische Durchbiegung bezeichnet:

Da ferner.

ist, wo P eine Last beliebiger Größe bedeutet, so ist

. . . (13)

Diese Gleichung wird erfüllt durch

. . . . (14)

Alsdann liefert:

Mit Rücksicht auf Gl. (13) folgt daher

Als elastische Durchbiegung des Stabes kommt nicht der Wert a + b, sondern a in Frage. Dieser ergibt sich als Funktion von b und P zu

. . . . . (15)

Bei einem exzentrischen Stab ist daher die Ausbiegung a eine Funktion der Belastung P. Für P = 0 ist auch a = 0 und für ist a = ∞. Setzt man daher die Last P = ϒPk, so ergibt sich

. . . . . . (16)

und für

ϒ 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
9,0 4,0 2,33 1,5 1,0 0,667 0,428 0,250 0,111 0,000

Die Exzentrizität b des Stabes läßt sich schwer messen, da in diesem Wert außer der eigentlichen Exzentrizität auch der Einfluß der Ungleichheiten in der Wandstärke und Homogenität enthalten sein soll. Rechnet man aber diesen scheinbaren Wert der Exzentrizität für einen Meßwert der Prüfkurven I bzw. II (Abb. 10) aus – für Kurve I ergab sich b = 1,1 cm und für Kurve II 1,27 cm – und bestimmt darauf für die übrigen Belastungen die zugehörigen Ausbiegungen (in Abb. 10 sind die so berechneten Werte durch Kreise bezeichnet), so findet man eine ganz überraschende Uebereinstimmung zwischen den Rechnungs- und Prüfungswerten und damit einen Beweis für Richtigkeit der Behauptung, daß das Auftreten einer mit der Last gesetzmäßig wachsenden Ausbiegung praktisch ausschließlich die Folge einer Unsymmetrie des Stabes ist, welche durch eine äquivalente Exzentrizität dargestellt werden kann.

Berechnung der zulässigen Belastung unter Berücksichtigung der Exzentrizität b.

a) Berechnung für verhältnismäßig schlanke Stäbe, bei denen die mittlere Druckspannung k gegenüber der Biegungsspannung k0 – k vernachlässigt werden kann.

Es ist näherungsweise

. . . . . (17)

woraus und unter Benutzung von Gleichung (15)

. . . (18)

b) Berechnung der zulässigen Belastung unter Berücksichtigung der mittleren Druckspannung k. Es ist

. . . (19)

Setzt man in dieser Gleichung und aus Gl. (15) den Wert für a ein, so erhält man:

Wird zur Abkürzung gesetzt, so gibt die quadratische Gleichung

die beiden Werte.

. . . (20)

Wendet man diese Formel auf das Stahlrohr 80 × 2 mm (Abb. 10, Kurve II) an, wobei l = 294 cm; F = 4,9 cm2; J = 37,3 cm4; k0 = 5200 kg/cm2; E = 2000000 kg/cm2 und b = 1,27 cm zu setzen ist, so ergibt sich die Knicklast entweder zu P1 = 33275 kg und die zugehörige Ausbiegung nach Gl. (15) zu a1 = – 1,715 cm oder zu P2 = 6635 kg und die zugehörige Ausbiegung zu a2 = 4,14 cm.

Die ersteren Werte P1 und a1 kommen praktisch nicht in Frage, da die Ausbiegung a1 der Verbiegung b entgegengesetzt gerichtet ist und k > k0 würde. In Gl. (20) ist daher der Wurzelwert nur mit negativem Vorzeichen zu benutzen. Die Beziehungen sind an Hand der vorstehenden graphischen Darstellungen (Abb. 11) noch leichter verständlich.

Gl. (20) kann somit benutzt werden, um nach dem Vorschlage von Müller- Breslau die Knicklast P unter Voraussetzung einer gewissen Exzentrizität des Stabes zu berechnen. Die dieser Last entsprechende zusätzliche Ausbiegung a ergibt sich dann nach Gl. (15) und die Gesamtausbiegung

. . . . (21)

und die Biegungsspannung nach Gl. (19)

. . . . (22)

Sehr übersichtlich gestalten sich die vorstehenden Berechnungen, wenn man die Momente der äußeren und |85| inneren Kräfte, Ma bzw. Mi, zum Beispiel im gefährlichen Querschnitt als Funktion der Ausbiegung a (Abb. 11) aufträgt. Es ist

Ma = P (a + b) . . . . . (23)

. . . (24)

oder da nach Gl. (14) für

ist:

. . . . . . (25)

Die Momente Ma und Mi werden daher durch die gleichbenannten Geraden in Abb. 11 dargestellt. Der Schnittpunkt der beiden Geraden entspricht demjenigen Wert der Ausbiegung a, bei welcher sich die inneren und äußeren Kräfte im Gleichgewicht befinden. Einer kleineren Kraft P1 entspricht ein Strahl und ein kleinerer Wert von a, einer größeren Kraft P2 ein Strahl und ein größerer Wert von a bzw. a + b. Wird P soweit vergrößert, daß wird, so wird a = ∞ und .

Wird P noch mehr vergrößert, so schneidet der zugehörige Strahl den Strahl Mi auf der linken Seite, so daß a negativ wird. Dieser Wert – a entspricht daher dem oben erwähnten unbrauchbaren Wurzelwert der Gl. (20).

Durch vorstehende Rechnung dürfte der Beweis erbracht sein, daß bei vorhandener Exzentrizität mit zunehmender Belastung die Ausbiegung a + b – wenn auch schnell – so doch nicht plötzlich bis zum Bruch des Stabes anwächst. Andererseits erscheint es möglich, bei der Prüfung von Stäben auf Knickung die stets vorhandene geringe Exzentrizität (worin auch alle Ungleichheiten in der Wandstärke und Materialbeschaffenheit einbegriffen sein sollen) durch geeignete Vorrichtungen zu beseitigen. Dann muß bei einer ganz bestimmten Kraft, nämlich der Eulerschen Knicklast bei jeder Ausbiegung Gleichgewicht herrschen, d.h. die Kurven I, II (Abb. 10) müssen bei dieser Last plötzlich senkrecht ansteigen. P ist somit für beliebige Werte der Ausbiegung konstant.

Der Verfasser hat derartige besondere Prüfeinrichtungen herstellen lassen, welche eine Einstellung der Exzentrizität auf ein beliebiges Maß ermöglichen. Zu dem Zweck wurde das zu prüfende Rohr an beiden Enden mit einer ebenen Druckplatte abgeschlossen und in die Prüfmaschine zwei schneidenförmige Druckstücke eingesetzt, deren Schneiden mit einem Radius von 5 mm abgerundet und einander parallel angeordnet wurden. Zu beiden Seiten jeder Schneide wurde eine Stellschraube vorgesehen, mit welcher das Rohrende gegenüber der Schneide millimeterweise verschoben wurde. Bei den Versuchen wurde derselbe Stab, ein Stahlrohr von 80 mm Durchmesser, 2 mm Wandstärke und 3030 mm Länge bei einer veränderlichen scheinbaren Exzentrizität zwischen + 12 mm und – 2,6 mm der Prüfung unterworfen. Dabei wurde eine Drehung des Rohres um seine Achse wie auch bleibende Veränderungen verhütet. Während die rechnungsmäßige Eulersche Knicklast sich zu ergibt, zeigte sich, daß das Rohr bei einer Exzentrizität e = – 2,6 mm sogar eine maximale Knicklast von 9500 kg aushalten konnte. Bei der Last von 9600 kg stieg die Durchbiegung ohne Zunahme der Kraft unvermittelt von – 1,2 mm auf einen sehr hohen Wert, der zum Bruch geführt haben würde. Die Versuchsresultate sind in Tabelle 10 zusammengestellt; die letzte Zahlenreihe entspricht der Kurve II in Abb. 10, die gegenüber der Kurve II für ein Rohr von nahezu den gleichen Abmessungen eine wesentlich schärfere Umbiegung infolge Beseitigung der Exzentrizität zeigt.

Tabelle 10.

Exzentri-
zität

Ausbiegung, mm bei einer Belastung, kg von
mm 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 8500 9000 9500 9600
12 2,1 geknickt
10 1,7
8 1,4
6 1,1 2,8
4 0,9 2,4
2 0,5 1,3 2,4 4,0
0 0,1 0,3 0,9 1,6 2,7 4,5
–2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,2 0,6
–2,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 – 0,1 – 0,3 – 1,2

Aus den Versuchen ergibt sich, daß ein vollständig gerader Stab in Einklang mit der Eulerschen Theorie bei einer Belastung unterhalb der Eulerschen Knicklast keinerlei Durchbiegung zeigt und daß bei Erreichung dieser Last bei beliebigen Durchbiegungen unterhalb der Proportionalitätsgrenzen Gleichgewicht zwischen inneren und äußeren Kräften herrscht.

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