Titel: TOCHTERMANN, Modell zur Veranschaulichung der Reaktionswirkungen etc.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1921, Band 336 (S. 59–61)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj336/ar336007

Modell zur Veranschaulichung der Reaktionswirkungen an statisch bestimmten und unbestimmten Trägern.

Von Dipl.-Ing. W. Tochtermann, Professor in Eßlingen a. N.

Ueber den Wert von Anschauungsmodellen, wie überhaupt über die Handhabung von Anschauungsunterricht ganz allgemein an technischen Fachschulen jeglicher Art, ist man sich in den beteiligten Fachkreisen längst klar.1) Die Firma Max Kohl, A.-G. in Chemnitz z.B. stellt seit vielen Jahren eine Reihe von Modellen her, die nach Angaben der Prof. Dr. Meyer, Dr. Skutsch, Dr. Prandtl, Vater, Dr. Enßlin, Winkel u.a. gebaut wurden und die sämtlich für Unterrichtszwecke, zur Förderung und Festigung des Verständnisses des Lernenden dienen.

Auch die Württ Höh. Maschinenbauschule Eßlingen benutzt seit Jahren mit bestem Erfolg solche Modelle, worüber der Verfasser in der Zeitschr. f. gewerbl. Unterricht berichtet hat.2)

Bei der Berechnung von Trägern, gleichviel ob gerade oder gekrümmt, ob statisch bestimmt oder unbestimmt, ebenso bei Rahmen und Gitterwerken muß, ehe das Biegungsmoment für einen Querschnitt angesetzt oder die Formänderung ermittelt werden kann, der Träger „freigemacht“ und alle an ihm angreifenden Lasten und Widerstände angebracht werden, damit der ursprüngliche Gleichgewichtszustand wieder hergestellt ist. Dieses fundamentale und stereotype Vorgehen muß der Studierende mit Sicherheit handhaben können. Dazu muß ihm die Sachlage anschaulich klar werden und zu diesem Zweck sind schon früher unter der Leitung von Prof. Dr. Enßlin an der Höh. Maschinenbauschule Eßlingen-Stuttgart verschiedene Modelle hergestellt worden, die nunmehr vom Verfasser in einem einzigen Modell vereinigt worden sind.

Insbesondere soll dem Studierenden der Begriff des Einspannmoments näher gebracht werden und der Zusammenhang zwischen Formänderung, Reaktion und Reaktionsmomenten. Er soll sehen, daß man solche Momente ebenso wie die Reaktionen abwägen kann, und er soll dahin gebracht werden zu erkennen, daß sich mit dem Kreispfeil, den er für ein Reaktionsmoment in die Stabskizze einzuzeichnen pflegt, eine klare Anschauung verbindet.

In sehr anschaulicher Weise ist auch Prof. Hanffstengel vorgegangen,3) indem er die unsichtbaren Kräfte an den Auflagern durch Anzeichnen von männlichen Figuren sichtbar gestaltet und sie so dem Gefühl näher bringt.4)

Das Modell ist vielseitiger Verwendung fähig; man kann in kurzer Zeit einen geraden Träger, einen Bogen-träger und einen rechteckigen Rahmen unter verschiedenen Auflagerbedingungen einbauen.

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Textabbildung Bd. 336, S. 60
Textabbildung Bd. 336, S. 60
Textabbildung Bd. 336, S. 60

Das Wesen des Modells ist in den Abb. 1 angedeutet: Ein beliebiger, in diesem Fall gekrümmter Träger, ruht auf 2 Unterlagen. Diese können durch Drehung in jede gewünschte Lage gebracht werden; auf ihnen kann sich der irgendwie belastete Träger vollkommen frei bewegen. Außer dieser freien Beweglichkeit der Trägerenden kann auch deren gelenkige Drehbarkeit oder feste Einspannung in Lagern veranschaulicht werden. Durch Kombination dieser Lagerungsarten in Bezug auf die beiden Trägerenden können sämtliche, überhaupt mögliche Befestigungen von Balken u. dgl. und damit eine mannigfache Zahl von Demonstrationsversuchen vorgeführt werden. Wie an einem Bogenträger, so kann das Gesagte auch an einem geraden Träger, sowie an einem Rahmenträger gezeigt werden. Die Belastung kann man als Einzellast anhängen oder kann sie auch gleichmäßig verteilt wirken lassen. Greift sie als Einzellast an einer beliebigen Stelle des vollständig frei beweglichen Trägers an (s. Abb. 2) so wird der Träger einzig durch Anbringen der 2 Vertikalauflagerwiderstände V1 und V2 „freigemacht.“ Soll die freie Beweglichkeit der Trägerenden aufgehoben und durch drehbare Lagerung ersetzt werden, so tritt ein neuer Zwang hinzu, dessen Freimachung das Anbringen zweier gleichgroßer Kräfte H (sog. Horizontalschub) erfordert. Diese sind bekanntlich statisch. unbestimmte Kräfte, deren Größe am Modell durch Abwägen leicht festzustellen sind. Die sich einstellende Formänderung des Trägers (in Abb. 2 gestrichelt angegeben) ergibt ein Abweichen der Tangentenrichtung an den Enden gegenüber der ursprünglichen Richtung um die Winkel α1 und α2. Wenn nun weiter zum Fall der Einspannung übergegangen werden soll, so ist zu bedenken, daß durch die Einspannung, d.h. die absolut starre Befestigung, ein Ausbiegen des Trägers an seinen Enden nicht stattfinden kann, so daß also der durch die Kraft H verbogene Träger zurückzubiegen ist, solange bis die anfängliche Tangentenrichtung wieder erreicht ist, d.h. bis die Winkel α1 und α2 zu Null geworden sind (Formänderung durch Einspannung in Abb. 2 punktiert angedeutet). Dieses Zurückbiegen an den Befestigungsstellen erfordert dort jeweils ein Kräftepaar, das bekannte Einspannmoment, das also die Wirkung des durch Einspannung erfolgten Zwangs auf den Träger vorstellt und in seiner Größe durch Abwägen am Modell festgestellt werden kann. Das Einspannmoment verursacht an dem Balken eine Spreizwirkung, weswegen sich die Horizontalkraft H gegenüber seither verändert.

Nachdem so die erwähnten Kräfte der Reihe nach in Wirkung getreten sind, sieht der Beschauer des Modells, daß dieses sich in vollkommener Ruhe befindet und daß die Lage des Trägers im Raum mit der ursprünglichen wieder übereinstimmt, daß also m. a. W. der gesamte Körper nicht aus dem Gleichgewicht gekommen ist. Der Körper ist damit frei gemacht und zu weiteren Untersuchungen gemäß den Bedingungen der Statik klargestellt. Danach muß außer Σ V = o u. Σ H = o, die algebr. Summe der Momente der äußeren Kräfte gleich Null sein, wovon sich der Uebende leicht überzeugen kann, denn die Abwägungen bestätigen, daß

P × b = V1 × a + M1 + M2.

Der mit dem Modell Arbeitende erkennt auch, daß die zuletzt zustande gekommene Gesamterscheinung sich aufbaut auf der gleichzeitigen Wirkung dreier Einzelerscheinungen, welche der Reihe nach sind:

1. Wirken der Belastung P allein

2. Wirken der Horizontalkraft H allein

3. Wirken der Einspannmomente M allein.

Textabbildung Bd. 336, S. 60
Textabbildung Bd. 336, S. 60
Textabbildung Bd. 336, S. 60
Textabbildung Bd. 336, S. 60

Im Zusammenhang damit kann auf das bekannte Superpositionsgesetz hingewiesen werden, welches bezüglich des eingespannten Trägers verlangt, daß die bei den erwähnten 3 Einzelerscheinungen gegenüber dem ursprünglichen Ruhezustand zustande kommenden Aenderungen in den Tangentenrichtungen des Trägers an den Lagerstellen algebraisch addiert gleich Null sein müssen. Dies bestätigt der Modellversuch sehr schön. Die Abb. 3 bis 5 veranschaulichen die besprochenen 3 Einzelerscheinungen. Besonders Interessantes bietet das Wirken der Einspannmomente. Die beiden Momente sind ungleich groß und haben denselben Drehsinn. Sie bringen an den Lagerstellen Vertikalreaktionen hervor, die gleich groß, doch umgekehrt gerichtet sind, |61| somit 1 Kräftepaar bilden, das zu den Einspannmomenten das Reaktionsmoment bildet, das Gleichgewicht des Trägers damit herstellt. Durch die Einspannung kommt also eine Aenderung der Vertikalauflagerwiderstände der Abb. 3 zustande und der diesbezügliche Vergleich der Abb. 3 und 5 ergibt als resultierenden Auflagewiderstand die Kraft V1 und V2 der Abb. 2.

Wirkt im speziellen Fall die Belastung P in der Trägermitte, dann werden die Einspannmomente gleich groß und einander entgegengesetzt, wodurch sich die durch die Einspannmomente bewirkten Vertikalkräfte gegenseitig aufheben. Die Einspannung ruft, wie schon erwähnt, auch noch eine Aenderung der Horizontalkräfte hervor, infolge der spreizenden Wirkung der Momente M1 und M2, was ebenfalls klar und deutlich am Modell sich dartut. Die Abb. 6 läßt die aus den Winkeln α', α'' und α''' dem ursprünglichen Tangentenrichtungswinkel α gegenüber sich ergebenden Winkeländerungen β1, β2 und β3 erkennen und es ergibt sich, wie schon oben als notwendig nachgewiesen:

β1 – β2 + β3 = 0.

Textabbildung Bd. 336, S. 61

In analoger Weise wie am Bogenträger lassen sich nun die erwähnten Erscheinungen auch an geraden Balken vorführen.

(Schluß folgt.)

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S. z.B. Aufsatz von Prof. Dr. E. Meyer, Z. d. V. d. J. 1909. S. 1301; Prof. Dr. Enßlin, Z. f. gew. Unterricht 1910, Nr. 15; Prof. Kammerer, Technik und Wirtschaft, 6. Jahrg., Jan. 1913.

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Z. f. gewerbl. Unterricht 1913, Nr. 27 und 28 u. 1916, Nr. 38.

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G. v. Hanffstengel: Technisches Denken und Schaffen. J. Springer 1920.

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Auch die inneren Kräfte bei Stab- und Fachwerken werden dabei durch Zug oder Druck von Männern charakterisiert, wobei aber immer daran zu denken ist, daß da, wo ein solcher Mann gezeichnet ist, in Wirklichkeit 2 Kräfte wirken, weil an dieser Stelle ein Druckzustand zwischen 2 Körpern vorhanden ist, der zur Folge hat, daß bei jedem der zwei Körper, dem drückenden und dem gedrückten eine Formänderung entsteht. Jeder dieser Formänderungen kommt eine Kraft zu, so daß man also beim Auseinandertrennen des drückenden und gedrückten Körpers 2 Kräfte erhält, die wieder in 1 Kraft zusammenfallen, sobald man die Sache als Ganzes ansieht.

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