Titel: WELLNER, Ein Temperatur-Wärmemengen-Diagramm.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1922, Band 337 (S. 121–129)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj337/ar337029

Ein Temperatur-Wärmemengen-Diagramm

als Hilfsmittel zur thermodynamischen Untersuchung von Maschinen, deren Arbeitsmittel die Gasgesetze befolgen.

Von Prof. Dr. techn. Emil Wellner, Brünn.

Inhaltsübersicht: Einleitende Worte über Wärmediagramme. – Entwicklung des Temperatur-Wärmemengendiagrammes aus der Verallgemeinerung der Wärmeparabel Stodolas. – Anwendungen des Diagrammes für Motorenuntersuchungen.

Bei allen Vorgängen wärmetechnischer Natur werden durch äußere Einflüsse, welche wesentlich im Zuführen oder Ableiten von Energiebeträgen bestehen, Veränderungen im Zustande des davon betroffenen Arbeitsmittels hervorgerufen. Der jeweilige Zustand desselben ist, wie bekannt, durch die Angabe von im allgemeinen drei maßgebenden Größen, den sogenannten Zustandsgrößen, charakterisiert, und die thermodynamische Untersuchung stellt die gesetzmäßigen Wechselbeziehungen fest, die zwischen diesen bei einer Störung des Gleichgewichtszustandes auftreten. Mit Hilfe der beiden Hauptsätze der Wärmetheorie und der für das betreffende Medium giltigen Zustandsgleichung, die eine Beziehung zwischen den erwähnten Zustandsgrößen aufstellt, können alle derartigen thermodynamischen Vorgänge analytisch verfolgt werden. Bei dem oft recht verwickelten Gange der Untersuchung werden die so gewonnenen rechnerischen Resultate häufig mehr oder minder unübersichtlich und es lag daher der Gedanke, die Betrachtungen in grafischer Weise zu versinnbildlichen und dadurch übersichtlicher zu gestalten, um so näher, als die technisch-praktischen Anwendungsgebiete dieser Theorie – beispielsweise die Expansion eines gasförmigen Arbeitsmittels in einem durch einen beweglichen Kolben begrenzten Zylinder – auf diese Form der Behandlung förmlich hinwiesen.

Es bürgerten. sich daher auch diese Darstellungsmethoden schon mit den Anfängen der Thermodynamik überhaupt ein, und zwar zunächst in Form des sogenannten Arbeitsdiagrammes, welches den Druck pro Flächeneinheit und das Volumen der Gewichtseinheit in einem Koordinatensystem vereinigt, und damit auch die Beträge der verbrauchten oder geleisteten mechanischen Arbeit während irgend einer Zustandsänderung sichtbar macht. Die Vorteile, die dieses Verfahren bietet, und besonders seine große praktische Bedeutung – es sei nur auf die durch das Indizieren von Maschinen gewonnenen Erfahrungen verwiesen – sind allgemein bekannt und jedem Techniker geläufig.

Allerdings erschöpft dieses Diagramm das Problem der Versinnbildlichung eines thermodynamischen Vorganges insofern noch nicht vollständig, als zwei maßgebende Größen – die Temperatur und die Wärmemenge – darin nicht enthalten sind. In diesem Sinne wurde die Abbildung einer Zustandsänderung erst durch die Einführung des Wärmediagrammes vervollkommnet, worin unter Zuhilfenahme des Entropiebegriffes als Zustandsgröße die Temperatur- und Wärmeschwankungen dargestellt erscheinen. Diese Wärmediagramme haben für alle thermodynamischen Untersuchungen eine überragende Bedeutung gewonnen. Abgesehen von der Wichtigkeit des Entropiebegriffes als eines Kriteriums für die Umkehrbarkeit der untersuchten Prozesse, zeigt dieses Diagramm unmittelbar die zu- und abgeführten Wärmemengen, und ermöglicht daher die Feststellung des thermischen Wirkungsgrades sowie die Beurteilung der Ausnützungsfähigkeit einer verfügbaren Wärmeenergie. In diesem Sinne erscheint das Arbeitsdiagramm in die zweite Linie gerückt, und behält oft nur die sekundäre Bedeutung, die Grundlagen zur Untersuchung der Kraft- und Massenwirkungen zu liefern.

Sowohl das Arbeits- als auch das Wärmediagramm (als Temperatur-Entropiediagramm) ergeben einerseits die Arbeits-, andererseits die Wärmebeträge als Flächenstücke, welche daher jeweils mittels einer der Methoden zur Ausmittlung derartiger Größen bestimmt werden müssen; dies birgt immer eine gewisse Umständlichkeit in sich, und es wird oft schwer, solche Werte abzuschätzen, oder, von vornherein gegeneinander abzuwägen. Manche Untersuchungen, bei denen von diesen Größen als gegeben auszugehen wäre, können sogar überhaupt nicht oder bloß versuchsweise durchgeführt werden.

Der angedeutete Nachteil führte naturgemäß zu Bestrebungen, von dieser Einschränkung frei zu werden, und es war zuerst Mollier,1) der mit seinem J-S-Diagramme auf dem Gebiete der Dämpfe die Darstellung von Wärmebeträgen in Form von Strecken einführte. Der große Vorteil, der sich hieraus beispielsweise bei der Berechnung von Dampfturbinen ergibt, ist allgemein bekannt. Auf dem Gebiete der Gase fehlte noch eine analoge Darstellung und erst durch die Gasentropietafel Stodolas2) wurde es möglich, vermittels der Wärmekurven auch hier dieselben Vorteile zu erzielen.3)

|122|

Die folgenden Betrachtungen schließen unmittelbar hieran an und stellen den Versuch dar, für Arbeitsmittel, die die Gesetze der vollkommenen Gase befolgen, unter Umgehung des Entropiewertes ein Wärmediagramm zu entwickeln, in welchem die absoluten Temperaturen und die Wärmeschwankungen als Koordinaten auftreten. Es sei gleich hier bemerkt, daß diese Darstellungsart für sich genommen kein erschöpfendes Bild des jeweiligen Zustandes des Arbeitsmittels ergeben kann, da ja nur eine einzige Zustandsgröße darin als Koordinate enthalten ist. Es wird daher dieses Diagramm im Allgemeinen nur als Ergänzung eines zweiten – etwa des Arbeitsdiagrammes – zu verwenden sein, sofern nicht durch besondere Hilfsmittel seine Unabhängigkeit hiervon erreicht wird. Andererseits ergibt die Darstellung den Vorteil, die zu- und abgeleiteten Wärmewerte, und daher auch die in Arbeit umgesetzten Beträge unmittelbar durch Strecken ablesen, sowie aus dem Verhältnisse dieser Größen die Güte der Wärmeausnutzung leicht fesstellen zu können. Es ist daher die im folgenden kurz als T-Q-Diagramm bezeichnete Darstellungsart hauptsächlich als Hilfsmittel für Motorenuntersuchungen gedacht.

Es sei erwähnt, daß Prof. P. Meyer in einer kürzlich veröffentlichten Arbeit1) dasselbe Ziel auf anderem Wege mit einer Darstellungsweise erreicht, in der die Wärme- und Temperaturwerte als Ordinaten einem p-v-Diagramm beigefügt sind. Es ergeben sich dabei die gleichen Vorteile – übersichtliche Darstellung der Wärmebewegung in linear meßbarer Form –, die die vorliegende Arbeit anstrebt.

Zunächst soll die Entwicklung des T-Q-Diagrammes aus den Wärmekurven Stodolas und seine charakteristischen Merkmale im Allgemeinen besprochen werden, während hieran die Anwendungen dieser Darstellungsart für Entwurf und Nachprüfung von Verbrennungsmotoren, Kompressoren und Gasturbinen anschließen mögen.

I. Allgemeine Entwicklung des T-Q-Diagrammes.

1. Die Wärme-Kurven.

Das Temperatur-Entropie-Diagramm veranschaulicht, wie bekannt, die an einer Zustandsänderung beteiligten Wärmemengen nach der Gleichung

dQ = T . dS 1.

als jene Flächenstücke, die von der Zustandskurve, ihren Randordinaten und der Abzissenachse eingeschlossen sind.

Zur Vermeidung der in dieser Darstellungsart gelegenen schon kurz angedeuteten Nachteile erweiterte Stodola2) seine Entropietafel durch Eintragen einer parabolischen Wärmekurve, welche es gestattet, die bei Zustandsänderungen konstanten spezifischen Volumens und konstanten Druckes auftretenden Wärmebeträge durch Strecken abzulesen.

Den Ausgangspunkt für die Konstruktion dieser Wärmekurve bildet die allgemeine Wärmegleichung

dQ = cv dT + Apdv; 2.

hierin bedeutet cv die spezifische Wärme bei konstantem Volumen, die, wie gebräuchlich, in der Form

cv = a + bT 3.

als lineare Funktion der absoluten Temperatur angenommen werden möge.3)

Die Integration von Gleichung 2 unter Berücksichtigung von Gleichung 3 bei konstantem Volumen ergibt

4.

Setzt man die untere Integralgrenze

T1 = 0 und T2 = T,

besteht sonach zwischen dem Wärmewert Qv und der zugehörigen absoluten Temperatur ein parabolischer Zusammenhang nach

, 6.

der umgeformt auch durch

7.

darstellbar ist. Wie aus Gleichung 7 ersichtlich, sind die Parabelachsen gegen das Koordinatensystem T-S um die Beträge beziehungsweise parallel verschoben. Für die Ablesung zusammengehöriger Werte T und Qv bleibt die Temperaturachse des Entropiediagrammes bestehen, und erscheinen die Wärmemengen Qv als die Strecken zwischen dieser Achse und der Parabel, parallel zur S-Achse gemessen.

Für Zustandsänderungen konstanten Druckes geht Gleichung 4 in

8.

über, oder mit der der Gleichung 6 analogen Schreibart in

Qp = Qv + ART 9.

Es ist also der Wärmewert bei konstantem Volumen um ein von der Temperatur linear abhängiges Glied additiv zu vermehren, was von Stodola mittels einer vom Koordinatenanfangspunkte schräg links aufsteigenden Geraden unter der Neigung A R durchgeführt erscheint. Die horizontalen Abschnitte zwischen dieser und der Parabel ergeben dann die den jeweiligen Temperaturen entsprechenden Beträge Qp.

Man ersieht nun leicht, daß die beiden Ansätze 6 und 9 Stodolas zwei besondere Fälle der allgemeineren Wärmegleichung für Polytropen mit beliebigem Exponentenwerte n darstellen.

Gleichung 2 ergibt nämlich in Verein mit der Zustandsgleichung

pv = RT 10.

und der Polytropengleichung

pvn = kst 11.

den Ausdruck

, 12.

welcher unter Benützung der Beziehung 3 integriert, in die den Gleichungen 6 und 9 entsprechende Form

13.

übergeht.1)

Diese Wärmegleichung entspricht bei Variierung des Exponentenwertes n der Gesamtheit der Polytropen und bildet die Grundlage für die Entwicklung des T-Q-Diagrammes.

Die ersten zwei Glieder der; rechten Gleichungsseite entsprechen hierbei jenem Teile der Wärme (Qv), der zur Vermehrung der inneren Energie (– Temperaturerhöhung –) des Arbeitsmediums verwendet wurde, während das dritte Glied den der geleisteten mechanischen

|ad| |ad| |123|

Arbeit gleichwertigen Teil QL versinnbildlicht. Die Gleichung nimmt dann mit dieser Schreibart die Form

Qn = Qv + QL 14.

an.

An Hand der Abb. 1 soll dies nun näher erläutert werden; es wären dort beispielsweise die an einer polytropischen Zustandsänderung mit dem Exponenten n beteiligten Wärmebeträge für die Temperaturgrenzen T1 bis T2 festzustellen. Zu diesem Zwecke ist in die Abb. zunächst die parabolische Wärmekurve eingetragen, die von den beiden Temperaturhorizontalen in den Punkten A und B geschnitten wird. Zieht man nun die Vertikale BC, ergibt sich in Strecke AC das erste Glied von Gleichung 14, Qv = AC.

Textabbildung Bd. 337, S. 123

Der zweite Wert QL ist der absoluten Temperatur proportional und demnach mit Hilfe eines Richtungswinkels ϕ darstellbar, der der Beziehung

entspricht. Zur Auffindung dieses Winkels ist in Strecke O1d die Einheit und senkrecht dazu in de die Größe AR festgelegt. Werden nun die Exponenten n jeweils im Sinne der positiven T-Achse von O1 aufgetragen (z.B. n = O1f), erhält man in ef den gesuchten Richtstrahl ϕ. Die Parallele BD hierzu liefert, wie ohne weiteres verständlich, in Strecke CD den zweiten der geleisteten Arbeit entsprechenden Teilbetrag der Wärmemenge

QL = CD

womit auch die gesamte Wärmemenge

ersichtlich wird. Der durch O1 gezogene Strahl

O1n ∥ ef

ist demnach einem bestimmten Polytropenexponenten n charakteristisch; ebenso sind in der Abb. die besonderen Werte dieser Größe, sowie ihre Schwankungen innerhalb der einzelnen Bereiche kenntlich gemacht.

Zunächst ist hier eine Bemerkung über die Maßstäbe der Abb. notwendig. Die Parabeltangente in irgend einem Kurvenpunkte schließt mit der T-Achse einen Winkel ein, dessen trigonometrische Tangente den Wert

15.

besitzt, welcher somit für

T = 0

in

tg α = a

übergeht, und die Neigung des Kurvenelementes im Koordinatenanfangspunkte zum Ausdrucke bringt. Die Größe a wäre daher mit Beibehaltung der Einheit O1d in Strecke dg dargestellt, gegenüber dem Temperaturmaßstabe also im allgemeinen (und zwar im Verhältnis der beiden Einheiten) vergrößert. Gemäß Gleichung 15 ist nun auch bT in demselben Maße wie a zu messen, was daher eine Vergrößerung von b in dem gleichen Verhältnisse erfordert. Auf diese Weise wären die Strahlen a und b festgelegt, und könnte die Wärmekurve daraus konstruiert werden. Es zeigt sich nun aber, daß die Parabel, da der Wert von a, auf ein Mol bezogen, nach Stodola, mit

a = 4,67

angenommen werden kann, was rund einem Winkel

α = 77°55'

entspräche, sehr stark gegen die Abzissenachse geneigt liegen und demgemäß recht ungenaue Schnitte ergeben würde. Wir wollen daher, ebenso wie dies bei Stodola1) durch den gewählten Wärmemaßstab zur Geltung kommt, die Parabel wesentlich steiler eintragen, d.h. den Maßstab für a, b und damit auch für AR entsprechend reduzieren.

Für die Parabelkonstruktion kann nun mit den beiden reduzierten Richtungen a und b, wie dies, der Deutlichkeit halber besonders herausgezeichnet, in Abb. 2 ersichtlich ist, der Scheitel O2 unmittelbar aufgesucht werden, indem man nach Projektion des Punktes g auf die Abzissenachse nach h, die Parallele

hi ∥ O1b

zieht, und die Strecke ik, die sich aus dem Schnittpunkte der Horizontalen durch Punkt i mit dem Richtstrahl a ergibt, einer bekannten Parabeleigenschaft gemäß, halbiert; wie man sich leicht überzeugt entspricht Strecke O1i dem Werte

wie dies Gleichung 7 erfordert. Da der Scheitel meist ziemlich unbequem zu liegen kommt, kann man zur Kurvenbestimmung auch unmittelbar einzelne Punkte nach der aus Gleichung 6 gebildeten Beziehung

bestimmen, indem man den einer gewählten Temperatur T entsprechenden Betrag bT halbiert, und um diese Hälfte (1 m) die Strecke dg (auf dq) vergrößert. Der Strahl O1q ergibt dann im Schnittpunkte r den gesuchten Parabelpunkt. Die Tangentenrichtung in diesem Punkte wäre, nach Uebertragung der Größe bT nach gs, durch O1s gegeben. Es sei noch erwähnt, daß der Maßstab der Wärmemengen gegenüber dem Temperaturmaßstabe, infolge der Reduktion von a, in demselben Verhältnisse verkleinert erscheint.

Textabbildung Bd. 337, S. 123

Für die im Weiteren besprochenen Diagramme ist es aber am zweckmäßigsten von beliebig gewählten Temperatur- und Wärmemaßstäben auszugehen. Man trägt dann zu einer angenommenen Temperatur T – Abb. 2 etwa O1l – in Strecke 11 den Betrag (a-T) horizontal im Wärmemaßstabe auf, wodurch Strahl O1t und mit der beliebig gewählten Einheit O1d der Wert a in Strecke dg festgelegt erscheint. Hieraus ergibt sich die zugehörige Größe AR durch die Reduktion

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in Strecke de. Die Parabelpunkte selbst erhält man gemäß Gleichung 6 durch Antragen der berechneten Beträge auf den jeweiligen Temperaturhorizontalen von der Nichtgeraden O1t aus.

Nun sollen die Beziehungen, die sich aus der Abb. 1 ergeben noch etwas näher betrachtet werden. Die Darstellungsart bietet uns die Möglichkeit, die gesamte Wärmewirtschaft, die bei irgend einer polytropischen Zustandsänderung auftritt, in einfacher Weise zu verfolgen.

Das Gebiet für Exponentenwerte n von

– ∞ < n < 1

umfaßt Zustandsänderungen, bei denen – als Expansion betrachtet – Wärme zugeführt werden muß; und zwar steigt hierbei, abgesehen von der Arbeitsleistung, die Temperatur. In Abb. 1, in der eine solche Zustandsänderung eingetragen ist, kommt dies dadurch zum Ausdrucke, daß Punkt D rechts von Punkt C gelegen ist. Von der im Gesamten zugeführten Wärme wird umsomehr verhältnismäßig in Arbeit umgesetzt, je mehr wir uns dem Werte

n = 1

nähern, d.h. je schräger die Gerade BD ausfällt. Umgekehrt als Kompression vom Punkte B als Anfangspunkt aufgefaßt, ist bei diesen Zustandsänderungen die ganze Wärmemenge AD (ins Kühlwasser) abzuleiten, wobei der Teil CD der zugeführten Kompressionsarbeit äquivalent ist, während AC das Sinken der Temperatur veranlaßt.

Um diesen Unterschied zwischen zu- und abgeführter Wärme in der Abb. 1 zum Ausdrucke zu bringen, kann folgender systematischer Vorgang eingeschlagen werden: Man ziehe die Parallelen zur T-Achse und zur betreffenden Richtungslinie n von dem der Endtemperatur entsprechenden Punkte zu der Horizontalen durch den Anfangspunkt. Die sich auf dieser dadurch ergebenden Teilbeträge der Wärmemengen addieren sich algebraisch und zwar ist die Summierung im Sinne

A über C nach D

vorzunehmen und hierbei festzusetzen, daß die Richtung nach rechts zugeführten Wärmen, jenen nach links abgeleiteten Beträgen entsprechen würde. Die gesamte zu- oder abgeführte Wärme erscheint jeweils in dem Abschnitte AD zwischen Parabelpunkt und dem Schnittpunkte der Parallelen zu Strahl n. Würde also beispielsweise die Zustandsänderung der Abb. 1 als Kompression vom Punkte B nach A aufgefaßt, wären die Parallelen von A aus zu ziehen, wie in der Abb. strichliert angedeutet, und man erhielte als abzuleitende Beträge die Teile BC' und C'D' entsprechend der Temperaturerniedrigung beziehungsweise der geleisteten Kompressionsarbeit, in Gesamtheit den Wert BD'.

Textabbildung Bd. 337, S. 124

Zur Besprechung der Zustandsänderungen für das Gebiet

1 < n < ∞

wurde in Abb. 3 nochmals die Wärmeparabel eingetragen, und seien für das Temperaturintervall T1 bis T2 zwei polytropische Kompressionen mit den Exponentenwerten

n1 = 1,2 und n2 = 1,6

betrachtet. Werden diese Größen an dem Maßstabe für n fixiert, und mit Punkt e verbunden, erhält man die hierfür maßgebenden Richtungen (O1n1 und O1n2). Trägt man nun die entsprechenden Parallelen durch Punkt B ein, ersieht man, daß bei der ersten die Wärmemenge

AD1 = AC – CD1

abgeleitet werden muß (AC ist hierbei der zur Temperaturerhöhung verwendete Teil der der geleisteten Kompressionsarbeit entsprechenden Wärme), während bei der zweiten die Wärme AD2 zuzuführen ist, da die zur Verfügung stehende, der Kompressionsarbeit äquivalente, Wärme CD2 für die Temperaturerhöhung (AC) nicht hinreicht.

Die Adiabate – oder besser gesagt die Polytrope, an deren Endpunkt die ganze der geleisteten Arbeit entsprechende Wärme zur Temperatursteigerung oder umgekehrt die durch die Temperatursenkung freiwerdende zur Arbeitsleistung aufgebracht ist – ergibt sich sonach, wenn die Punkte D mit A zusammenfallen, und kann der dazugehörige Wert χ durch Ziehen von

eχ ∥ AB

an dem Maßstabe für n abgelesen werden. Daß eine solche Zustandsänderung unter dem nach Gleichung 3 angenommenen Gesetze für cv in Wirklichkeit keine Adiabate darstellt, ersieht man aus der Abb. unmittelbar; denkt man sich nämlich eine Zwischentemperatur T gezogen, so wäre zunächst entsprechend der Strecke AE Wärme abzuleiten, die dann in der zweiten Periode mit FG in gleicher Größe wieder zuzuführen wäre. Die eigentliche Adiabate gemäß Gleichung 3 entspräche sonach einer Bewegung des Punktes A längs der Parabel nach B, hätte also veränderliche Exponentenwerte χ, die jeweils durch die Parallele zu den Kurventangenten durch Punkt e an dem Maßstabe n bestimmt wären.

Die Isotherme mit n = 1 nimmt insoferne eine Sonderstellung ein, als für sie die Temperaturdifferenz, die für die vorhergehenden Betrachtungen den Ausgangspunkt bildete, verschwindet. Soll für sie die zu- oder abgeführte Wärmemenge aus den Druck- oder Volumsänderungen ermittelt werden, ist auf die Gleichung 2 und die Isothermengleichung

pv = kst

zurückzugreifen, welche hiefür

ergeben. Es wäre hiernach der Ausdruck ART, der in Abb. 1 durch den horizontalen Abschnitt zwischen dem Richtstrahl n = O und der T-Achse wiedergegeben erscheint, im Verhältnisse des

zur Einheit zu vergrößern, um zu der gesuchten Größe zu gelangen. Es ist also für diese Zustandsänderung das Aufsuchen der Wärmemenge mit dem Nachteile der Bestimmung eines Logarithmus verknüpft.

Zusammenfassend ersehen wir also, daß wir durch die erweiterte Anwendung der Wärmeparabel für sämtliche Polytropen einen vollkommenen Ueberblick über die bei ihnen vorkommenden Wärmebewegungen erhalten; wir sind mit diesem Hilfsmittel in der Lage, einerseits bei gegebenene Anfangs- und Endzustande der Kurve die zur Vermehrung der inneren Energie und zur Arbeitsleistung herangezogenen Wärmebeträge festzustellen, ajderseits bei gegebener zuzuführender Wärme die Endtemperatur und damit beispielsweise durch eine dieser entsprechend eingelegten Mariotte die Kurvenerstreckung im Arbeitsdiagramm zu bestimmen.

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Schließlich sei noch bemerkt, daß eine andere als der Gleichung 3 entsprechende Abhängigkeit zwischen cv und T, beispielsweise die nach Gleichung 5 die vorangehenden Untersuchungen nur insoferne berührt, als die Wärmeparabel eine kubische Form annimmt; es ergeben sich nämlich die neuen Wärmeabzissen Qv für konstantes Volumen aus dem ursprünglichen Qv durch Vermehrung um das kubische Glied der Beziehung

.

Werden also unter Berücksichtigung des über die Maßstäbe der Figuren Gesagten diese Größen entsprechend den jeweiligen Temperaturen von den Punkten A, F, B etc. (der Abb. 3) horizontal nach rechts aufgetragen, erhält man die neue Parabel, mit der die weiteren Betrachtungen genau wie früher durchgeführt werden können.

2. Das Temperatur-Wärmemengen-Diagramm.

Das Wesen der Darstellungsart ist, wie schon eingangs erwähnt, dadurch gegeben, daß ein Diagramm zwischen den Größen T und Q gebildet wird. Die Wärmewerte erhält man mit Hilfe der Wärmeparabel, und unterscheidet sich die Auftragung der Abb. 4 in diesem Punkte von den früheren nur durch die Umklappung um die Temperaturachse, wodurch die Wärmekurve nach links vom Ursprünge aufsteigend zu liegen kommt, während die den einzelnen Polytropen charakteristischen Strahlen ϕ die rechte Hälfte erfüllen würden. Die absoluten Temperaturen erscheinen wieder als Ordinaten, während die Wärmeschwankungen horizontal gemessen werden.

Textabbildung Bd. 337, S. 125

Wir wollen nun untersuchen, in welcher Weise sich Zustandsänderungen in diesem Diagramm darstellen lassen. Hierfür bildet die allgemeine Wärmegleichung

dQ = du + Apdv = di – Avdp

den Ausgangspunkt, welche für Arbeitsmittel, die den Gesetzen für vollkommene Gase folgen, die Formen

dQ = cvdT + Apdv 2.

beziehungsweise

dQ = cpdT – Avdp 2a.

annimmt. Für die Abbildung von Polytropen, die wir zunächst betrachten wollen, geht Gleichung 2 in die schon früher benutzte Gleichung 13

über, worin Qv der bei konstantem spezifischen Volumen zugeführten Wärmemenge entspricht, während das letzte Glied der Eigenart der betreffenden Polytrope gerecht wird.

Soll nun eine bestimmte Kurve mit gegebenem Exponentenwerte n1 mithin auch mit einem durch

bestimmten Winkel ϕ1 in dem Schaubild ersichtlich gemacht werden, wird von einem beliebigen Punkte 1 der der Anfangstemperatur T1 entsprechenden Horizontale die Parallele 12 zu Strahl ϕ1 bis zur Endtemperatur T2 gezogen. Diese Gerade stellt bereits die Abb. dieser Zustandsänderung dar, wenn die Wärmemengen Qn von den jeweiligen Parabelpunkten λ aus gezählt werden; die Parabel bildet also gleichsam die Koordinatenachse für die Wärmebeträge. Hierzu ist zu bemerken, daß die Strecke λ1 1, da sie ja beliebig gewählt wurde, im allgemeinen nicht die dem Punkte 1 entsprechende Wärme zum Ausdrucke bringt; es spielt dies für die Untersuchungen keine Rolle, da ja jeweils nur die Wärmedifferenzen zwischen zwei Temperaturen maßgebend werden.

Die von 1 bis 2 zugeführte Wärme erscheint nun als Differenz der Strecken 2λ2 und 1λ1 , und wäre nach früherem durch die Parallele

λ2ρ ∥ 12

in Strecke λ1ρ dargestellt, wobei nach den Beziehungen des vorigen Abschnittes die Teilung nach Qv und QL wieder durch die Vertikale λ2σ bewerkstelligt werden könnte.

Für das Folgende ist es jedoch zweckmäßiger, die Wärmemengen, statt von der Parabel aus, durch Ziehen der Geraden

1 ∥ λ2λ1

und der Vertikalen 2ν1 bis zur Horizontalen durch den Anfangspunkt kenntlich zu machen.

Hierdurch erhält man, wie ohne weiteres verständlich erscheint,

in Strecke 1μ1 die zugeführte Wärme,

in Strecke μ1ν1 den zur Vermehrung der inneren Energie aufgebrauchten Teil hiervon, und

in Strecke ν11 den zur Arbeitsleistung verwendeten Anteil.

Die drei Größen geben naturgemäß in ihrer algebraischen Summe Null, wobei die Addition von 1 über μ, ν nach 1 zurück vorzunehmen wäre. Die Wärmebeträge mit dem Richtungssinne nach rechts mögen entsprechend einer zur Verfügung stehenden Wärmemenge, die entweder durch Zuführung von außen, oder durch Temperatursenkung oder Arbeitsaufwendung disponibel werden kann, als positiv gelten.

Der Unterschied zwischen Expansion und Kompression bei ein und derselben Polytrope kommt dadurch zur Geltung, daß im ersten Falle die Parallele vom Anfangspunkte 1 im Richtungssinne O1n1 (1 nach 2), im zweiten Falle im Sinne n1O1 (1 nach 2) einzutragen wäre.

Stellen wir die Aufgabe so, daß bei gegebener zu- oder abzuleitender Wärmemenge die Endtemperatur einer Polytrope zu bestimmen sei, trägt man jene von λ1 in Strecke λ1ρ auf (bei abgeführter Wärme von der Parabel nach rechts) und zieht die Parallele zu dem der Polytrope entsprechenden Richtstrahle ϕ womit die Punkte λ2 und 2 erhalten werden.

Will man, wie dies namentlich bei Motorenuntersuchungen zweckmäßig wird, die Aenderung des Wärmeinhaltes feststellen, benützt man Gleichung 2a. Das Glied

∫cpdT

stellt die bei einer Zustandsänderung konstanten Druckes zwischen gegebenen Grenzen zuzuführende Wärmemenge dar, und ist daher nach dem eben Besprochenen durch den Abschnitt μ1π1 dargestellt, wenn die Gerade 2π1 der Richtung konstanten Druckes (Strahl ϕ0) entspricht. Da nun 1μ1 den Betrag Qn wiedergibt, ist nach Gleichung 2a in Strecke 1π1 auch der Wert

∫Avdp

ersichtlich geworden.

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Wir sind sonach in der Lage in dem T-Q-Diagramme die für eine Zustandsänderung maßgebenden Wärmebeträge gemäß den Gleichungen 2 und 2a in einfacher Weise durch Strecken wiederzugeben. Es sei hierzu gleich an dieser Stelle erwähnt, daß die Konstruktion der Punkte ν und π in der gleichen Bedeutung aufrecht bleibt, wenn wir es statt der Polytrope 12 mit einer allgemein verlaufenden Zustandsänderung zu tun hätten.

Schließt nun eine zweite polytropische Zustandsänderung mit den Werten n2, ϕ2 im Punkte 2 bis zur Temperatur T3 an, erhält man mit der analogen Parallele

3 ∥ λ3λ1

und der Vertikale 3ν3 die Punkte μ3 und ν3 und damit die Wärmebewegung während des kombinierten Vorganges 1 bis 3 unmittelbar, und zwar

in Strecke 1μ3 die gesamte zugeführte Wärme,

in Strecke μ3ν3 den hiervon zur Temperatursteigerung verwendeten Teil, und

in Strecke ν31 den der geleisteten Arbeit entsprechenden Anteil.

Ebenso wären die Punkte μ2 und ν2 für die Polytrope 2 bis 3 erhältlich, und man kann sich aus der Abb. leicht davon überzeugen, das beispielsweise

μ1ν1 = μ2ν2 + μ3ν3

besteht, da ja die Verbindungslinie μ2μ3 parallel 2μ1 gelegen ist. Interessiert uns nur der Endzustand 3 gegenüber 1 und die damit verbundene Wärmeverschiebung, ist, wie schon erwähnt, nur das Aufsuchen der Hilfspunkte μ3 und ν3 unter Hinweglassung der Zwischenresultate erforderlich.

Bei Betrachtung geschlossener aus Polytropen bestehender Kreisprozesse läßt sich das oben Gesagte gut anwenden, da neben den Wärme- und Arbeitswerten auch der thermische Wirkungsgrad des Prozesses in einfachster Weise zum Ausdruck kommt. Es möge dies an Hand der Abb. 5 veranschaulicht werden, in der ein solcher aus vier beliebig gewählten Polytropen entsprechend den Winkeln ϕ1 bis ϕ4 bestehender Prozeß dargestellt erscheint, der im Wesentlichen der Arbeitsweise eines Verpuffungsmotors gleichkommen würde. Die einzelnen Polytropen entsprächen vom Anfangspunkte 1 begonnen sonach etwa der Verdichtung, der Wärmezufuhr, der Expansion und dem Spannungsabfalle bis auf den Ausschubdruck. Das entstehende Schaubild wäre durch den Polygonalzug 12345 wiedergegeben. Es ist also im Unterschiede zu den anderen Diagrammarten keine geschlossene Figur, sondern bleibt mit der Strecke 15 auf der Anfangstemperatur-Horizontalen offen.

Textabbildung Bd. 337, S. 126

Auf den ersten Blick könnte dies insoferne befremden, als es zu bedeuten schiene, daß im Endpunkte des Kreisprozesses 5 um den Betrag der Strecke 15 mehr Wärme vorhanden wäre als im Anfangspunkte 1. Diese Größe repräsentiert aber die während des Prozesses als äußere Arbeit abgegebene Wärmemenge – nach der gebräuchlichen Bezeichnungsweise AL – und man überzeugt sich hiervon leicht durch Ziehen der Vertikalen durch die einzelnen Polytropenendpunkte, wodurch man die in ihrer Bedeutung schon gekennzeichneten Punkte v erhält. Man ersieht hieraus auch, mit welchen Werten die verschiedenen Zweige des Kreisprozesses an dieser Arbeitsleistung teilhaben.

In der Figur entspräche

Strecke 1ν2 der aufgewendeten Arbeit während der Verdichtung,

Strecke ν2ν3 der geleisteten Arbeit während der Wärmezufuhr,

Strecke ν3ν4 der geleisteten Arbeit während der Expansion, und

Strecke ν45 der geleisteten Arbeit während des Spannungsabfalles.

Es ergibt die algebraische Summe sonach tatsächlich den Wert 15 als geleistete Arbeit des Kreisprozesses.

Ebenso führt auch die Betrachtung der zu- und abgeleiteten Wärmemengen, die mit Hilfe der Punkte μ2 bis μ4 verfolgt werden können, naturgemäß zu dem gleichen Resultate.

Strecke 1μ2 abgeführte Wärme während der Verdichtung,

Strecke μ2μ3 zugeführte Wärme während der Wärmezufuhr,

Strecke μ3μ4 abgeführte Wärme während der Expansion,

Strecke μ45 abgeführte Wärme während des Spannungsabfalles.

Wieder ersieht man, daß

∑Q = 15 – AL

ist. Es ist dies auch aus dem Umstände zu erkennen, daß die zur Aenderung der inneren Energie nötigen Wärmebeträge, die in den horizontalen Abständen der Parabelpunkte von der Achse λ1χ1 dargestellt erscheinen, bei einem geschlossenen Prozeß für sich die algebraische Summe Null ergeben müssen.

Der thermische Wirkungsgrad des Prozesses ist durch

gegeben und könnte in einfacher Weise auch grafisch dargestellt und beispielsweise am n-Maßstabe abgelesen werden. Außerdem kann aus der Strecke 15 durch Reduktion von der Wärme – auf die Arbeitseinheit die geleistete mechanische Arbeit und hieraus die mittlere indizierte Spannung bestimmt werden. Tritt während des Prozesses eine Aenderung der chemischen Zusammensetzung des Arbeitsmittels auf, hat dies – neben anderen Erscheinungen, wie beispielsweise einer etwa vorkommenden Kontraktion zur Folge, daß sich eine Aenderung der Konstante b der spezifischen Wärme ergibt.

Im Hinblicke auf die im nächsten Abschnitte besprochenen Anwendungen bei Verbrennungsmotoren. möge gleich hier festgestellt werden, in welcher Weise hierdurch die Diagrammkonstruktion beeinflußt wird.

Gemäß den zwei Werten b0 und b vor bezw. nach der chemischen Umsetzung werden, wie dies Abb. 6 zeigt, zwei Wärmeparabeln einzutragen sein, und würde sich die Verdichtung 12 auf die Parabel b0 beziehen, während die Wärmeschwankungen der folgenden Teile des Prozesses mittels der Parabel b zu bestimmen wären. Man sieht nun unmittelbar aus der Abb. daß zur Temperatursteigerung während der Verdichtung ein kleinerer Wärmebetrag (σ0λ01) aufgewendet wurde, als zu derselben Erhöhung bei den Verbrennungsprodukten nötig gewesen wäre (σλ1).

Denkt man sich, wie üblich, die chemische Veränderung plötzlich vor sich gehen und dann eine Zustandsänderung unter Zuführung einer Wärmemenge ρρ2 folgen, muß daher zunächst ein Teilbetrag derselben

λ2ρ = σλ1 – σ0λ01.

zum Ausgleich der erwähnten Differenz verwendet werden und nur der Rest λ2ρ2 wird für die folgende |127| Zustandsänderung disponibel bleiben. Die während des Prozesses für die Temperaturschwankungen verbrauchten Wärmebeträge ersieht man ebenso wie in Abb. 5 in den horizontalen Entfernungen des. Linienzuges λ1ρλ2λ3 und zurück längs der Parabel b bis zum Punkte λ1 von der Achse λ1χ1. Die zur Arbeitsleistung herangezogenen Wärmemengen und die zu- und abgeleiteten Beträge könnten wieder mittels der Hilfspunkte μ und ν ersichtlich gemacht werden. Hier ist aber ein anderer Weg eingeschlagen, der im besonderen bei der Beurteilung indizierter Diagramme von Verbrennungsmotoren den Vorteil bietet, daß man unmittelbar ersehen kann, ob die betreffende Zustandsänderung unter Wärmezufuhr oder Ableitung vor sich geht. Errichtet man nämlich im Punkte 1 die vertikale Achse 1χ2 ersieht man zunächst, wie ohne weiteres verständlich ist, in den horizontalen Abständen der einzelnen Diagrammpunkte von dieser Achse die bis dahin geleisteten Arbeitswerte. Ueberträgt man nun die zu- und abgeleiteten Wärmebeträge gleichfalls von dieser Achse horizontal, und zwar etwa zugeführte Werte nach rechts, erhält man einen Linienzug 12'2''3'4'5. Beispielsweise könnte Punkt 2' durch Uebertragen von 1μ2 nach α2' erhalten werden, und stellt diese Strecke die bis zum Punkte 2 abgeführte Wärmemenge dar. (Eine einfachere Uebertragungsweise ergibt sich weiter unten.)

Textabbildung Bd. 337, S. 127

Das Diagramm schließt sich naturgemäß im Punkte 5 des ursprünglichen Wärmediagrammes, da ja wie früher die Differenz zwischen zu- und abgeführter Wärme den Betrag der in Arbeit umgesetzten Wärme 15 ergeben muß.

Will man nun etwa die bis zu irgend einem Diagrammpunkte a erfolgte Wärmebewegung verfolgen, zieht man durch diesen Punkt eine Horizontale und entnimmt

in Strecke ab die vom Anfangspunkte bis dahin aufgewendete Arbeit,

in Strecke bc die vom Anfangspunkte bis dahin zugeführte Wärme und

in Strecke de die vom Anfangspunkte bis dahin zur Temperatursteigerung verwendete Wärmemenge, wobei die algebraische Summe

ab + bc = de

besteht.

Der horizontale Abstand zweier zusammengehöriger Diagrammpunkte ac stellt sonach die zur Temperatursteigerung verwendete Wärmemenge dar (ac = de), und es gestattet uns diese Beziehung den Linienzug 12'3'4'5 in einfachster Weise aus dem Wärmediagramme durch Uebertragen der einzelnen Strecken de zu konstruieren.

Kehren wir nun wieder zu Abb. 5 zurück, waren dort die Temperaturen T1 bis T4 des Prozesses als bekannt vorausgesetzt, und dementsprechend die vier Polytropen – Geraden innerhalb dieser Grenzen eingezeichnet. Es ist nun von Interesse zu diesen Temperaturen die Druck- und Volumsverhältnisse zu ermitteln, zumal in der praktischen Anwendung beim Entwurf eines Maschinendiagrammes meist letztere Größen gegeben sind, und erst hieraus die Temperaturen der einzelnen Diagrammpunkte folgen.

Zu dieser Ermittlung kann man sich, wie Abb. 7 zeigt, eines logarithmischen Maßstabes bedienen, der beispielsweise auf der Abzissenachse aufgetragen wäre, während auf der Ordinatenachse eine dekadische Teilung in beliebigem Maßstabe verzeichnet wäre.

Textabbildung Bd. 337, S. 127

Soll nun beispielsweise zu der Polytrope 12 der Abb. 7 mit dem Exponenten n das Druck- und Volumsverhältnis bestimmt werden, sucht man zunächst mittels des Richtwinkels α die Maßzahl des Temperaturverhältnisses

auf; man erhält diesen Wert durch eine Parallelverschiebung

cm ∥ ab

in der Strecke O1m; fixiert man nun den dieser Maßzahl entsprechenden Punkt A auf der logarithmischen Teilung und projiziert diesen nach C auf die Horizontale durch die Einheit, kann man durch Verbindung von Punkt n (entsprechend dem Werte des Polytropenexponenten) mit C auf dem logarithmischen Maßstabe der Abzissenachse im Punkte B die Maßzahl des Druckverhältnisses

ablesen. Die Konstruktion folgt aus der Logarithmierung der Polytropen-Gleichung kst, welche

16.

oder in Anwendung auf Figur 7

ergibt. Wie man sieht, ist die Konstruktion direkt umkehrbar, das heißt, man findet ebenso bei bekanntem Druckverhältnisse das Verhältnis der absoluten Temperaturen. In der praktischen Anwendung ist es nicht notwendig, einen ganzen logarithmischen Maßstab auf das Zeichenbrett zu übertragen, man benützt vielmehr mit Vorteil die Skala eines Rechenschiebers, auf der man mittels eines Stechzirkels entsprechend der Maßzahl O1m die zugehörige Strecke (O1A) abgreift und dann O1B an derselben Teilung abließt.

Ebenso führt die Projektion von Punkt A nach D und die Gerade D1E in Strecke O1E entsprechend der anologen Polytropen-Gleichung vn – 1 . T = kst zur logarithmischen Maßzahl des Volumsverhältnisses .

Mit dieser Hilfskonstruktion ist man auch in der Lage einzelne Punkte eines T-Q Diagrammes in das Arbeitsdiagramm zu übertragen, andererseits ist man aber beispielsweise, beim Entwürfe eines Verbrennungsmotors von letzterem Diagramme ganz unabhängig geworden1).

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Die Isothermen erfordern auch in dieser Darstellungsart, in der sie ebenso wie früher als horizontale Gerade erscheinen, eine besondere Betrachtung; soll der einem gegebenen Kurvenverlaufe im Arbeitsdiagramme entsprechende Endpunkt im T-Q Diagramme festgelegt werden, ist zu bedenken, daß bei diesen Zustandsänderungen die gesamte zugeführte Wärmemenge in Arbeit umgesetzt wird; es wäre demnach dieser Wert zu ermitteln und in Wärmeeinheiten auf der Temperaturhorizontale vom Anfangspunkte aus aufzutragen.

Textabbildung Bd. 337, S. 128

Das Bild eines Carnot'schen Kreisprozesses wäre danach durch Abb. 8 anschaulich gemacht. Die beiden Adiabaten ergeben sich als die parallel verschobenen Teile der Wärmeparabel zwischen den beiden Temperaturgrenzen T1 und T2. Der der abgeführten Wärmemenge 34 entsprechende Punkt 4 des Diagrammes kann hier unmittelbar mit Hilfe des Punktes B gefunden werden, wenn man bedenkt, daß bei Isothermen die zu- und abgeführten Wärmen für das gleiche Volumsverhältnis den absoluten Temperaturen proportional sind. Mit der Parabel 41' findet sich dann Punkt 1' und mithin die geleistete Arbeit

AL = Q1 – Q2 = 12 – 34 = 11'

Der thermische Wirkungsgrad ist durch

gegeben und man ersieht ohne weiteres, wie er sich bei sinkendem T2 der Einheit nähert, um diesen Wert bei

T2 = 0

zu erreichen. Der bekannte analytische Ausdruck

ist gleichfalls aus den ähnlichen Dreiecken der Figur unmittelbar abzulesen.

Textabbildung Bd. 337, S. 128

Es sei hier noch darauf hingewiesen, in welcher Weise das Aufsuchen der Abbildungen allgemein verlaufender Zustandsänderungen, deren analytisches Gesetz nicht bekannt ist, im Wärmeschaubild durchzuführen wäre. In der linken Hälfte der Abb. 9 wäre eine solche Kurve 132 eingezeichnet. Die Uebertragung erfolgt in der Weise, daß mittels einer Arbeitsintegralkurve die bis zu dem jeweiligen Kurvenpunkte geleistete mechanische Arbeit, in Wärme-Einheiten gemessen, als Abzisse im Wärmediagramm aufgetragen wird, während die zugehörige Temperatur aus der Beziehung

pv = RT

bestimmt wird.

Die Integralkurve BFD ist in bekannter Weise mit der frei gewählten Einheit nach der Proportion

konstruiert worden, so daß etwa die Ordinate EF die bis zum Kurvenpunkte 3, CD die bis 2 geleistete Arbeit darstellt. Die für den Entwurf des Wärmediagrammes nötige Einheit O1d muß, wie man sich leicht überzeugen kann, gleich Oh gewählt werden. Legt man nun einen Temperatur- und Wärmemaßstab (AR) fest, kann auf der Horizontalen Ti der Anfangspunkt 1' beliebig angenommen werden. Hierdurch ist auch schon die für die Temperaturermittlungen erforderliche Größe R aus der Gleichung

p1v1 = RT1

bestimmt, was durch Ziehen der Hilfsgerade Oab durchgeführt erscheint.

Die Uebertragung ist in der Abbildung für die Kurvenpunkte 3 und 2 angedeutet. Zunächst ermittelt man die diesen Punkten entsprechenden Temperaturen durch Ziehen der Hilfsgeraden Oce und Ofg. Hierauf sind die Arbeitsgrößen EF und CD der Integralkurve auf Wärmeeinheiten zu reduzieren. Werden hierzu diese Strecken nach GH und GJ übertragen, wobei der Proportionalwinkel ρ der Beziehung

genügt, erhält man im Schnittpunkte der Vertikalen durch diese Punkte mit den entsprechenden Temperaturhorizontalen die gesuchten Punkte 3' bezw. 2', und somit die Abbildung der Zustandsänderung 132. Zieht man nun noch die Parallele

2'μ ∥ λ2λ1

erhält man in 1'μ die gesamte zugeführte Wärme und in μν den zur Temperaturerhöhung verwendeten Anteil derselben und hat sonach einen vollständigen Ueberblick über die während der Zustandsänderung erfolgte Wärmebewegung.

Das Eintragen einer den Kurvenverlauf 132 ersetzenden Polytrope könnte nach verschiedenen Gesichtspunkten erfolgen; zunächst könnte man eine solche Ersatzkurve durch die Punkte 1 und 2, wie in der Abbildung gestrichelt eingezeichnet, hindurchlegen. Es wäre hierzu der Kurvenexponent n zu bestimmen, womit man die dieser Kurve entsprechende Neigung im T-Q Diagramm (nk) und damit auch ihre Abbildung in 1'4' erhielte. Wie man aus der Abbildung ersieht, würden die bei beiden Zustandsänderungen geleisteten Arbeiten einander im allgemeinen nicht gleich sein, denn es müßte die Polytrope, um dieser Bedingung zu genügen, beim Punkte 5' entsprechend der Vertikalen durch 2' abgebrochen werden; der zugehörige Punkt 5 im Arbeitsdiagramme würde im Schnitte mit der Isotherme T5 gefunden und ergäbe ein von v2 verschiedenes Endvolumen. Es wäre daher entsprechender, neben der Bedingung gleicher Arbeitsleistung noch festzusetzen, daß von der Polytrope dasselbe Endvolumen v2 zu erreichen wäre. Dies könnte man, da die zur Bestimmung des Exponenten n führende Gleichung

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eine einfache graphische Lösung nicht zuläßt, am zweckmäßigsten versuchsweise mit einer Fehlerkurve erreichen. Es wurde auf diese Beziehungen hier hauptsächlich deshalb hingewiesen, um hervorzuheben, daß ein Punkt des einen Diagrammes noch keinen bestimmten Punkt im zweiten festlegt; es entsprechet ja beispielsweise einem Punkte 2 des Arbeitsdiagrammes sämtliche Punkte der zugehörigen Temperaturhorizontalen in der T-Q Darstellung, und umgekehrt einem Punkte in letzterer die ganze Punktreihe der entsprechenden gleichzeitigen Hyperbel. Erst durch die Zugehörigkeit zu einer bestimmten Zustandsänderung werden zwei korrespondierende Punkte aneinander gebunden; in der Figur beispielsweise wird Punkt 2 als Punkt der allgemeinen Zustandsänderung nach 2', als Punkt der Polytrope nach 4' abgebildet.

Es sei noch erwähnt, daß eine Abhängigkeit der spezifischen Wärme cv von der absoluten Temperatur nach Gleichung 5 auch hier in derselben Weise wie am Ende des vorigen Abschnittes berücksichtigt werden könnte, ohne den Gang der Untersuchungen weiter zu beeinflussen.

Abschließend ersehen wir, daß das T-Q Diagramm vor allem den Vorteil bietet, daß sich Polytropen gradlinig abbilden, und daß die an beliebigen Zustandsänderungen beteiligten Wärmewerte in Streckenform sichtbar werden. Hierdurch wird es besonders für thermodynamische Motorenuntersuchungen geeignet sein.

(2. Teil folgt.)

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Mollier, Neue Tabellen und Diagramme für Wasserdampf. Berlin, Springer, 1906.

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Stodola, Die Dampfturbine. 4. Aufl. Berlin, Springer, 1910.

|121|

Siehe hierzu die Untersuchungen von Ostertag, Die Entropie-Diagramme der Verbrennungsmotoren. Berlin, Springer, 1912.

|122|

Zeitschr. des Ver. deutscher Ing. 1921, Seite 1234.

|122|

Stodola, a. a. O.

|122|

Für Kohlensäure und Wasserdampf empfiehlt sich nach den Versuchsergebnissen von Pier besser eine parabolische Abhängigkeit nach

cv = a + bT + cT2 5.

Siehe hierzu Stodola, Zeitschrift des Ver. deutsch. Ing., 1912, Seite 1008 u. d. f.

|122|

Siehe hierzu auch Seiliger, Zeitschrift des Ver. deutscher Ingenieure 1922, Heft 1.

|123|

Stodola a. a. O.

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In anderer Weise kann diese Selbständigkeit des T-Q Diagrammes durch Eintragen von Kurven konstanten Druckes erzielt werden.

Siehe hierzu das Kapitel Kompressoren.

Naturgemäß führt auch die Rechnung einfach zu dem jeweils gesuchten Wert.

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