Titel: SCHMOLKE, Die wichtigsten Forschungsarbeiten von W. Nusselts.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1923, Band 338 (S. 173–176)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj338/ar338033

Die wichtigsten Forschungsarbeiten von W. Nusselt zur Bestimmung des Wärmeüberganges.

Von Ing. Schmolke, Berlin.

Es unterliegt keinem Zweifel, daß eine Aufklärung des Wärmeüberganges von heißeren an kältere Körper für Kondensatoren, Kühler, Wärmekraftmaschinen, Heizungsanlagen aller Art usw. von größter Bedeutung ist. Indessen läßt es sich ebensowenig leugnen, daß die rechnerische Behandlung dieses Problems große Schwierigkeiten verursacht. Sie wurde von verschiedenster Seite in mannigfacher Weise versucht, aber noch 1909 konnte Dalby in seiner Abhandlung „Heat transmission“ die Ansicht vertreten, daß es unmöglich sei, eine Darstellung der sich im Dampfkessel abspielenden Vorgänge auf mathematischer Grundlage zu geben. Dennoch brachte gerade das genannte Jahr einige dem erwähnten Gelehrten noch unbekannte Veröffentlichungen aus deutscher Feder, die einen bahnbrechenden Fortschritt darstellten. Es sind dies die als Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens erschienenen Betrachtungen W. Nusselts über die Wärmeleitfähigkeit von Isolierstoffen sowie den Wärmeübergang in Rohrleitungen. Seit jener Zeit ist der an letzter Stelle Genannte in München, Dresden und späterhin in Karlsruhe unermüdlich bestrebt gewesen, zahlreiche mit dem gekennzeichneten Problem im Zusammenhang stehende Fragen einer Lösung näher zu bringen. Eine Reihe ausgezeichneter Arbeiten liegt vor, die in maßgebenden Kreisen die gebührende Anerkennung gefunden haben. Leider aber sind vielen in der Praxis stehenden Ingenieuren die Grundlagen der Theorie des Wärmeüberganges noch recht wenig bekannt, wie folgendes Beispiel lehrt:

Unter der Wärmeübergangszahl a versteht man die in der Stunde auf einer Flächeneinheit bei einem Temperaturunterschied von 1° zwischen zwei Körpern verschiedenen Wärmegrades übergehende Anzahl von Kalorien. Sie ist, sofern es sich um die Kühlung einer heißen Wand durch eine an ihr entlang strömende Flüssigkeit handelt, abhängig von deren Geschwindigkeit w, wie Joule schon in den sechziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts feststellte. Seit jener Zeit versuchten verschiedene Forscher diese Abhängigkeit zahlenmäßig anzugeben. Beispielsweise sprach Mollier die Beziehung α – 300 + 1800 √w aus für den Fall, daß die in Frage kommende Flüssigkeit Wasser ist. Ernstlich bestritten wurde der Einfluß von w auf α fast niemals. Dessenungeachtet versuchte in neuester Zeit Preußler in zwei während der Jahre 1920 und 1921 erschienenen Veröffentlichungen, diese von wissenschaftlicher Seite nahezu ausnahmslos anerkannte Auffassung umzustoßen. Er wurde von Nusselt widerlegt, und dieser beseitigte gleichzeitig noch eine Anzahl weiterer inzwischen in Praktikerkreisen aufgetretener Unklarheiten. Hierher gehört die Ansicht, daß man die Heizfläche recht lang machen und dem Gas oder der Flüssigkeit möglichst viel Zeit lassen müsse für den Wärmeaustausch. Die Form, in welcher die Berichtigung derartiger, schwer auszurottender Irrtümer erfolgte, ist als mustergültig zu bezeichnen. Nusselt betrachtet zu diesem Zwecke ein Röhrenbündel, welches innen von Luft durchströmt, außen von Dampf erhitzt wird und dessen Temperatur überall to° sei. Es ist nun der Wasserwert W der stündlich die Röhren durchfließenden Luft proportional der Strömungsgeschwindigkeit w, so daß er gleich c1w gesetzt werden kann. Bei Beachtung dieser Voraussetzung ergibt sich aus der Definition des Wertes a sofort C1wdt – α (t0 – t) df, und durch Integrieren erhält man – . Hierbei ist df ein Flächenelement, an welchem die Lufttemperatur t herrscht. Beim Eintritt in das Rohrsystem möge t = t1 sein, während f = 0 ist. Diese Beziehung genügt zur Bestimmung der unbekannten Konstanten. Man kann schreiben C = – In (t0 – t1). Führt man diesen Wert in das Resultat der Integration ein, so folgt nach einfacher Umformung . Wird nunmehr die Lufttemperatur beim Austritt aus dem Röhrenkessel t2 genannt, so ergibt sich entsprechend , woraus man sofort den Erhitzungsgrad sowie die ausgetauschte Wärme findet. Nun ist auf experimentellem Wege ermittelt worden, daß α = c2w0,788 gesetzt werden darf. Benutzt man diese Beziehung, so folgt durch Differentiation der vorhergehenden Gleichung

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Dieser Ausdruck ist für jeden Wert von w positiv. Er beweist daher, daß unter allen Umständen der Wärmeaustausch mit steigender Geschwindigkeit wächst. Ferner sieht man, daß die Ansicht, man müsse der Luft hinreichend Zeit zur Wärmeaufnahme lassen, falsch ist, denn bei Steigerung von w ist der Aufenthalt des Gases in den Röhren immer kürzer. Wird der Querschnitt der letzteren verengt ohne Veränderung der Luftmenge und Heizfläche, indem man der Leitung beispielsweise keine runde, sondern eine rechteckige Gestalt gibt, so wächst Q sowie (t2 – t1) infolge der Zunahme von w. Man erkennt also, daß auch die Vorstellungen irrig sind, die bei manchen Praktikern über den Einfluß der Heizflächenform bestehen. Es läßt sich sogar zeigen, daß bei gleichbleibender Luftmenge infolge einer Verminderung des Durchmessers der Wärmeübergang wegen der vermehrten Geschwindigkeit steigt trotz des Kleinerwerdens der Heizfläche.

Außer der Zahl α spielen bei der Betrachtung der Wärmeüberganges noch zwei andere Begriffe eine wichtige Rolle. Es sind dies die Wärmeleitzahl λ sowis die Wärmedurchgangszahl k. Den Zusammenhang dieser Größen mit α lehrt nachstehende Betrachtung: Es sei die Temperatur zweier durch eine planparallele Wand getrennter Räume t1 und tII. Der Wärmegrad der dem einen Raum zugewendeten Seite der Wand möge t1, der der anderen Seite t2 genannt werden. Demnach ist im Beharrungszustand Q = α1 (tI – t1) Z = α2 (t2 – tII) Z, wenn Z die Zeit, a1 und a2 die entsprechenden Wärmeübergangszahlen sind. Nennt man jetzt die durch eine Schicht der Wand vom Querschnitt 1 und der Dicke 1 bei einem Temperaturunterschied von 1 ° hindurchfließende Wärmemenge λ, so kann man schreiben , sofern δ die Stärke der die beiden Räume trennenden Wandung ist. Hieraus ergibt sich durch Vereinigung mit den vorhergehenden Ausdrücken unter Elimination von t1 und t2 die Formel . Der auf der der rechten Seite der Gleichung auftretende Bruch wird als Wärmedurchgangszahl k bezeichnet. In analoger Weise findet man für ein Rohr von der Länge l, dem Innenradius r1 und dem äußeren Halbmesser r2 den Wert . Ist in dieser Beziehung λ groß, sowie r2 und r1 wenig verschieden, so kann der dritte Summand des Nenners vernachlässigt werden, was zur Folge hat, daß der praktisch wichtige Wärmedurchgang allein von α abhängt. Der Ermittlung dieses Wertes gelten daher vor allem die Bemühungen Nusselts.

Bevor auf dessen Forschungen näher eingegangen wird, sei eine kurze Uebersicht der älteren Arbeiten gegeben, die dasselbe Stoffgebiet zum Gegenstand haben. Nach Joule stellte Weiß bereits 1862 durch Versuche an Dampfkesseln fest, daß der Wärmeaustausch von dem Produkte aus Dichte und Geschwindigkeit der Gase abhängt. Reynolds fand 1874 bei Rohrleitungen die übergehende Wärme proportional der ersten Potenz der sekundlichen Gasmenge. Ser kam 1888 zu der Formel . Henry und Carcanagues nahmen in den neunziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts bemerkenswerte Versuche an Lokomotivkesseln bzw. Messingrohren vor, während einige Zeit danach Perry wiederum die Angaben von Reynolds bestätigte. Hierauf folgten theoretische Betrachtungen über den Wärmedurchgang aus der Feder von Boussinesq bzw. Goldschmidt, denen sich Veröffentlichungen von Jordan und Josse anschlössen. Letzterer ließ Luft von geringer Spannung durch ein Rohr strömen und fand, daß der Wärmeübergang bei sinkendem Druck eine Verminderung erfuhr. Etwa gleichzeitig gab Nusselt einen wertvollen Bericht über die experimentelle Feststellung der Wärmeleitzahl bei Isolierstoffen bekannt. Seine Untersuchungen bestätigten die Annahme, daß die in der Sekunde durch die Flächeneinheit hindurchgehende Wärmemenge dem Temperaturabfall für die Längeneinheit senkrecht zur Fläche verhältnisgleich ist. Kurz nach dieser als 63./64. Forschungsheft erschienenen Arbeit erfolgte die Herausgabe der epochemachenden Abhandlung betreffend den Wärmeübergang in Rohrleitungen. Die darin beschriebenen Untersuchungen wurden an einem von Gas durchflossenen Messingrohr vorgenommen. Es zeigte sich nach eingetretener Turbulenz ein starkes Anwachsen des Wärmeaustausches mit der Geschwindigkeit. Ferner wurde die überraschende Beobachtung gemacht, daß der Wärmeübergang wesentlich mit der spezifischen Wärme des Gases cp und in geringerem Maße mit dessen Wärmeleitfähigkeit zunimmt. Der Einfluß der Zähigkeit erwies sich als unbedeutend. Das Ergebnis der im 89. Forschungsheft gebrachten Arbeit ließ sich durch die Formel zusammenfassen, in der λw die Wärmeleitfähigkeit des Gases in unmittelbarer Nähe der Wand und d der Rohrdurchmesser ist. Diese Gleichung befand sich, wie Leprince-Ringuet später nachwies, im besten Einklang mit den erwähnten Versuchen von Jordan. Sie wurde ferner auch durch Holmboe und Sonnecken experimentell bestätigt. Schon das Jahr 1910 brachte eine weitere wertvolle Feststellung. Nusselt bewies zu jenem Zeitpunkt, daß die Wärmeübergangszahl auch von der Länge des Rohres abhängt. Sie ist beim Eintritt einer Flüssigkeit in dasselbe am größten und strebt einem tiefsten Grenzwert zu. Unter Berücksichtigung dieses Forschungsergebnisses, das sich durchaus mit den damals von Rietschel und Gröber angestellten Untersuchungen in Einklang bringen ließ, kam Nusselt zu der Beziehung , in der L die Länge, ρ die Dichte ist. Er glaubte nunmehr zur Feststellung eines Grundgesetzes des Wärmeüberganges schreiten zu dürfen. Im Jahre 1915 veröffentlichte er eine allgemein gültige Gleichung für die Abkühlung eines Körpers in einem zweiatomigen Gas, welche durch Versuche bestätigt wurde und sich beispielsweise auch in Uebereinstimmung befand mit den kurz zuvor von Nusselt bekanntgegebenen Resultaten einer Prüfung des Wärmeüberganges in der Gasmaschine. In unermüdlicher Fortarbeit wurde im folgenden Jahre die Oberflächenkondensation des Wasserdampfes einer theoretischen Betrachtung unterworfen. Es ergab sich für lotrecht stehende Rohre die Wärmeübergangszahl , sofern r die Verdampfungswärme, γ das spezifische Gewicht des Kondensates, λ dessen Wärmeleitzahl, η dessen Zähigkeitszahl, tw und td die Wandbzw, die Dampftemperatur sowie H die Höhe der dem Austausch der Wärme dienenden Fläche ist. Bei wagerechter Anordnung gilt , wobei d den Rohrdurchmesser bezeichnet. Eine vollständige Durchsicht des gesamten vorliegenden Materials, |175| zu dem inzwischen von Poensgen, Kammerer, Hilliger, Binder, Nicholson u.a. mehr oder weniger brauchbare Beiträge geliefert wurden, veranlaßte Nusselt 1917 zur Aufstellung eines etwas abgeänderten Ausdruckes für die mittlere Wärmeübergangszahl in Rohrleitungen. Er lautet . Es würde zu weit führen, näher auf die Entwicklung aller dieser Formeln einzugehen, indessen sei wenigstens ein charakteristisches Beispiel für die geistreiche Lösung eines technisch wichtigen, der mathematischen Behandlung schwer zugänglichen Problems gegeben.

Es möge zu diesem Zweck die Bestimmung des Wärmeaustausches im Berieselungskühler durch Nusselt dienen. Der Gedankengang ist folgender: Ueber eine Kühlfläche von der Breite 1 strömt in der Zeiteinheit die gleichmäßig verteilte Wassermenge G. Es bildet sich eine Flüssigkeitshaut, für deren Erhitzung die Geschwindigkeit w des abwärts rieselnden Wassers von Wichtigkeit ist, da infolge des Fließens ein Wärmetransport stattfindet. Die rechnerische Bestimmung von w wäre somit die erste Voraussetzung für die Beantwortung der gestellten Frage. Sobald dieser Wert gefunden wurde, liegt die Möglichkeit vor, unter Benutzung der Theorien Fouriers den Temperaturverlauf in der Wasserhaut und schließlich die ausgetauschte Wärme Q bzw. die Zahl α festzustellen. Die gesuchte Geschwindigkeit ergibt sich folgendermaßen: Da man annehmen kann, daß an der Kühlfläche die Reibung dem Gewicht der dort haftenden Flüssigkeit das Gleichgewicht hält, so unterliegt w nur dem Einfluß des Abstandes y von der Wand. Die Schubspannung τ nimmt, wenn y eine Vergrößerung dy erfährt, um zu. Diese Zunahme muß dem Wassergewicht γdy entsprechen, so daß man schreiben kann . Andererseits ist , wenn η die Zähigkeit bedeutet. Führt man diesen Wert in die erste Gleichung ein, so erweist sich eine zweimalige Integration als nötig, um w zu ermitteln. Man erhält . Die unbestimmte Konstante C2 wird gefunden auf Grund der Forderung, daß für y = 0 auch w verschwindet. Es folgt hieraus C2 = 0. Andererseits muß an der Oberfläche der Wasserhaut τ = 0 sein, was zur Folge hat, daß ebenfalls gleich Null wird, wie ein Blick auf Formel 1 lehrt. Das kann aber gemäß Beziehung 2 nur dann der Fall sein, wenn ist, wobei y0 die Dicke der Wasserhaut bezeichnet. Beide Festwerte sind somit bestimmt, und man hat einen Ausdruck für w erhalten, den man zur Ermittlung der herabfließenden Wassermenge verwerten kann. Für letztere gilt . Führt man hiein ein, so ergibt sich und . Diese Beziehungen finden nachstehend bei der Feststellung des Temperaturverlaufes Anwendung.

Betrachtet man jetzt ein Prisma innerhalb der Wasserhaut von der Grundfläche ab cd und der Höhe 1, so wird die Temperatur t im Innern desselben eine Funktion des Abstandes y von der Wand und der Entfernung x von der Oberkante sein. Es treten daher im Folgenden partielle Differentialgleichungen auf im Sinne der klassischen Theorie Fouriers. Ihr zufolge ist die durch ein Flächenelement in der Umgebung eines wärmeabgebenden Körpers strömende Kalorienzahl verhältnisgleich dem Temperaturverlauf senkrecht zu dessen Wandung. Es wäre somit die in der y-Richtung durch Fläche ab dem Prisma zugeführte Wärme , wenn λ wieder die vom Stoff abhängige, durch die Temperatur wenig beeinflußte Wärmeleitzahl bezeichnet. Das negative Vorzeichen deutet an, daß der Wert t mit zunehmendem Abstand von der Wand sinkt. Aus Fläche c d tritt eine Wärmemenge aus, die sich von der eintretenden durch den Wert unterscheidet. Weiterhin gelangen infolge der Abwärtsbewegung des fließenden Wassers, dessen spezifische Wärme c sei, in Richtung x durch die Fläche ad cwγtdy Kalorien in das betrachtete Volumenteilchen, während die dasselbe durch Fläche bc verlassende Wärmemenge um größer ist. Wenn der Beharrungszustand erreicht wurde, ändert sich die Zahl der im Prisma enthaltenen Kalorien nicht, das heißt, es muß sein. In diesen Ausdruck wird jetzt w gemäß Formel 3 eingeführt und man erhält die partielle Differentialgleichung , deren Lösung die Bestimmung des Temperaturverlaufes gestattet. In meisterhafter Weise behandelt Nusselt das vorliegende mathematische Problem.

Es werden zunächst in den Ausdruck 5 die Werte sowie eingeführt. Dadurch erhält man eine Differentialgleichung, bei deren rechnerischer Verwendung drei Bedingungen zu beachten sind. An der Oberkante der Wand, d.h. für s = 0, muß t gleich der Temperatur t1 des noch kalten Wassers sein. Setzt man ferner voraus, daß die Kühlfläche überall den gleichen Wärmegrad t0 besitze, so wäre t = t0 für z = 0. Wird weiterhin noch der an der Oberfläche des Wassers stattfindende Austausch von Wärme vernachlässigt, so ergibt sich für z = 1 die Forderung . Führt man schließlich noch den Wert ein, so nimmt die vorliegende Gleichung die Form an und es lauten, wie man leicht erkennt, die Grenzbedingungen s = 0, μ = 1; z = 0, μ = 0; z = 1, . Wird Beziehung 6 in Differenzform geschrieben, so folgt durch eine Umwandlung einfachster Art . Dieser Ausdruck bietet, wenn man eine Kurve s = s1 in einem μz-Diagramm kennt, |176| die Möglickkeit, eine weitere s-Linie für s = sx + Δs einzutragen. Ohne Mühe läßt sich nämlich der Wert finden. Man geht zu diesem Zweck auf der gegebenen s-Kurve um Δz nach rechts und links, wobei sich μ um Δ1 μ und Δ2 μ ändern möge. Durch dies Verfahren ergibt sich, wie man leicht erkennt, als der gesuchte Quotient . Nusselt berechnet nun μ in Abhängigkeit von z sowie s und vereinigt die gefundenen Werte in einer Zahlentafel. Diese leistet wichtige Dienste bei der Bestimmung von α.

Zur Feststellung dieser Zahl sucht man zunächst eine Gleichung für die vom Wasser aufgenommene Wärme. Es ergibt sich sofort . Führt man in diesen Ausdruck die Werte μ, z sowie w und y0 gemäß den Formeln 3 und 4 ein, so folgt . Andererseits gilt Q = Gc (to – t1) φ, sofern ist. Endlich besteht die oben abgeleitete Beziehung . Es wäre also , und man fände . Zur Berechnung von φ dient die erwähnte Zahlentafel der μ = Werte. Der letzte, durchaus nicht sehr verwickelte Ausdruck gibt die Lösung der gestellten Aufgabe.

Die Vornahme auf den ersten Blick recht einfach erscheinender praktischer Versuche zur Bestimmung von α macht oft den Aufwand von viel Sorgfalt erforderlich, wie nachstehendes Beispiel zeigen dürfte: Es handele sich darum, den für die Heizungstechnik sehr wichtigen Wärmedurchgang bei einer ebenen Wand zu finden, an welcher ein Luftstrom von anderer Temperatur entlang fließt. Dahin zielende Prüfungen sind von Recknagel und Wierz veranstaltet worden, während Frandte und Latzko die Frage lediglich auf Grund theoretischer Betrachtungen zu klären suchten. Auch Nusselt unternahm die Lösung der Aufgabe mit Hülfe einer Versuchseinrichtung, deren Schaffung durch Bereitstellung von Mitteln seitens des Verbandes der Zentralheizungsindustrie e. V., Berlin, ermöglicht wurde. Deren Anordnung war nachstehende: Ein von einem 17 PS-Nebenschlußmotor angetriebener Ventilator drückte durch einen Diffussor in einen Windkessel Luft. Diese entströmte dem Behälter wiederum durch eine rechteckige Düse, an die sich ein Kanal anschloß, der einen Teil der Luft an der Versuchswand vorbeileitete und die Herstellung eines parallelen Gasstromes ermöglichte. Ein Abschnitt der Wandung wurde durch eine Kupferplatte gebildet, die einen Wasserkasten abschloß, dessen Inhalt ein Rührer in lebhafte Bewegung setzte. An der Rückwand des Kastens befand sich eine elektrische Heizvorrichtung, die von einer Akkumulatorenbatterie Strom erhielt. Die Durchwirbelung des Wassers hatte eine recht gleichmäßige Plattentemperatur zur Folge, zu deren Messung neun an der Oberfläche eingelassene Thermoelemente dienten. Die an den Luftstrom abgegebene Wärme ist Q = Q1 – Q2 – Q3. In dieser Formel bezeichnet Q1 die durch Spannungs- und Strommesser zu bestimmende, zum Zweck der Heizung zugeführte elektrische Energie. Q2 ist der Wärmeverlust abzüglich der durch die Reibung des Rührwerkes zugeführten Kalorienzahl. Q3 bezeichnet schließlich die von der Platte durch Strahlung abgegebene Wärme, die sich nach dem Stefan-Bolzmannschen Gesetz bestimmen läßt. Während die Prüfungen vorgenommen wurden, war die Temperatur der Wand tw = 50°, die der Luft te = 20°. Es ergab sich somit eine Differenz tw – te = 30°, und nach der Gleichung Q = α (tw – te) F, in der F die Oberfläche der Kupferplatte ist, ließe sich die Wärmeübergangszahl berechnen. Nusselt fand die Beziehung α = 6,14w0,780 + 4,60e–0,6w. Für die Luftgeschwindigkeit w = 15 m sek –1 betrug der Strahlungsverlust nur 4 v. H. der an die Luft abgegebenen Wärme. Der obige Ausdruck läßt sich bei praktischen Rechnungen noch wesentlich vereinfachen. Sofern w geringer als 5 m sek –1 ist, genügt die Gleichung α = 5,0 + 3,4 w, während bei höheren Luftgeschwindigkeiten das zweite Glied der ursprünglichen Formel vernachlässigt werden kann. Nicht unerwähnt möge es bleiben, daß eine Rauhung der Kupferplatte mit Hülfe eines Sandstrahlgebläses eine Zunahme der Wärmeübergangszahl um 5 v. H. zur Folge hatte, während eine Glättung der bei den Versuchen mit der angelaufenen unbearbeiteten Walzhaut versehenen Oberfläche ohne bemerkenswerte Wirkung blieb. Nähere Angaben bezüglich der an letzter Stelle genannten Tatsachen dürfte die nächste Zukunft bringen.

Ueberdies stehen wichtige Veröffentlichungen in Betreff des Wärmeüberganges in der Verbrennungskraftmaschine durch Nusselt bevor. Dieser berichtete bereits am 29. Juni d. J. auf der Dieselmaschinen-Tagung des V. d. I. über Versuche, welche die Klärung des erwähnten Problems zum Ziele hatten. Sie liegen zum Teil schon geraume Zeit zurück. So wurde bereits oben erwähnt, daß schon 1914 Ergebnisse von Prüfungen bekannt geworden sind, die Nusselt an kugelförmigen Bomben ausführte, deren innere Oberfläche einmal geschwärzt und einmal vergoldet war, um den Einfluß von Wärmeleitung und -strahlung von einander zu trennen. Er gelangte damals zu dem Ergebnis, daß die Wärmeübergangszahl dem Temperaturunterschied zwischen Gas und Wand keineswegs verhältnisgleich ist. Ferner wurde festgestellt, daß α von der seit Beginn der Abkühlung des Gases verflossenen Zeit abhängt. Die Gasstrahlung spielt eine kleinere Rolle, als ihr meist zugeschrieben wurde. Der Bekanntgabe der letzten Forschungsergebnisse in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure wird man mit besonderer Spannung entgegensehen, da gerade in allerneuster Zeit sehr wertvolle Arbeiten erschienen sind oder vorbereitet wurden, die sich mit demselben Thema beschäftigen. Es sei vor allem auf die recht beachtenswerten Veröffentlichungen Eichelbergs hingewiesen, die voraussichtlich noch der Herbst des laufenden Jahres bringen dürfte.

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