Text-Bild-Ansicht Band 318

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bezw.

. . . (3.

Für die elastische Linie gilt dann die Bedingung

. . . . (4.

worin E der Elastizitätsmodul und J das Trägheitsmoment des Trägers im Querschnitt x ist.

Unter der Annahme, dass J für alle Querschnitte gleich gross ist, lässt sich diese Gleichung bequem integrieren. Die Integrationskonstanten ergeben sich aus den Bedingungen, dass für x = 0 y = , für x = l y = Δy2 sein muss und dass die für die beiden Abschnitte a und b geltenden Gleichungen für den Punkt x = a gleiche Ordinaten und gleiche Tangenten geben müssen. Wir erhalten dann für den Abschnitt a (also für Werte von x ⋜ a) als Gleichung der elastischen Linie

. . (5.

Uns interessieren jedoch vor allem die absoluten Durchbiegungen (y' in Fig. 1), gemessen von der Lagerverbindungslinie aus.

Da diese Verbindungslinie die Gleichung

hat, so erhalten wir für die absoluten Durchbiegungen

. . . (6.

oder auch

. . . (6a.

Da in diesen Gleichungen der Lagerhöhenunterschied Δy2 nicht mehr vorkommt, so gilt unter den gemachten Voraussetzungen für einen zweifach gestützten mit Einzellast beanspruchten Träger folgender Satz:

Satz 1. Die absoluten Durchbiegungen, in vertikaler Richtung von der Lagerverbindungslinie aus gemessen, sind unabhängig vom Lagerhöhenunterschiede Δy2.

Für den Abschnitt b gelten natürlich ganz analoge Gleichungen. Man erhält sie aus den obigen, indem man a und b miteinander vertauscht und die Strecken x vom andern Lager aus misst. Will man jedoch das oben angenommene Koordinatensystem beibehalten, so erhält man als Gleichung der elastischen Linie für den Abschnitt b (also für Werte von x ⋝ a).

. . . . . (7.

Die absolute Durchbiegung ist dann

. . . (8.

Satz 1 gilt also auch für den Abschnitt b.

Die Durchbiegung im Angriffspunkte der Kraft P erhält man aus Gleichung (6. für x = a

. . . . .(9.

Für das Aufzeichnen der elastischen Linie ist es wünschenswert, für jeden beliebigen Punkt der Kurve die Tangente zu kennen. Vor allem interessiert uns die Neigung der elastischen Linie im Auflager. Wir bestimmen sie am einfachsten durch Ermittelung des von der Lagertangente auf der Kraftachse gebildeten Abschnittes ha (von der Lagerverbindungslinie aus gemessen). Dieser ist (Fig. 1)

Aus Gleichung (5. ergiebt sich nun durch Differentiation

. . . (10.

Somit für x = 0

. . . .(11.

Es ist demnach auch diese Strecke unabhängig vom Lagerhöhenunterschied.

Aus Gleichung (9. und (11. ergiebt sich

und demnach

. . . (12.

Entsprechend findet man für die andere Lagertangente den Abschnitt

. . . (13.

Textabbildung Bd. 318, S. 146

Aus diesen Gleichungen ergiebt sich eine sehr einfache Konstruktion für die Lagertangenten (Fig. 2). Die einzelnen Punkte sind mit Ziffern bezeichnet in der Reihenfolge, wie sie bei der Konstruktion erhalten werden. 1 und 2 sind die beiden Lager, 3 der Angriffspunkt der Kraft P, 4 und 5 die Halbierungspunkte der Strecken a und b, sodass Strecke

ist. 6 ist der Endpunkt der Strecke f, die nach Gleichung (9. bekannt ist. Man bestimmt dann 7 als Schnittpunkt der Linie 2/6 mit der Vertikalen 4/4' und macht 7/8 ∥ l/2. Dann ist 1/8 die gesuchte Lagertangente für Punkt 1. Ebenso bestimmt man durch 9 und 10 die Lagertangente für Punkt 2.

Der Unterschied zwischen der Tangehtenordinate ha und der Kurvenordinate f (Strecke (6/8) in Fig. 2) ist

. . . . (14.