Text-Bild-Ansicht Band 318

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Entsprechend

. . . . (15.

Man kann diese Strecken auch direkt aus M berechnen, ohne vorher erst f bestimmen zu müssen. Aus Gleichung (9. und (14. ergiebt sich

. . . . (16.

Entsprechend

. . . . (17.

Wir sehen aus Gleichung (16., dass bei gegebenem Momente M die Strecke sa unabhängig von b, also vom Horizontal abstand der beiden Lager ist, d.h. wenn wir bei einem Träger das im Punkt x = a auftretende Moment M kennen, so können wir für den Abschnitt a die Ordinatendifferenz sa berechnen, ohne dass wir über Entfernung und Art des zweiten Stützpunktes näheres zu wissen brauchen. Ausserdem ist sa auch vom Lagerhöhenunterschiede Δ y2 unabhängig.

Wir werden diese Eigenschaften später beim zweifach gestützten Träger mit Aussenlast, sowie beim dreifach gestützten Träger anwenden.

Für einen beliebigen Punkt x (Fig. 3) ist die Ordinatendifferenz zwischen Kurve und Lagertangente

. . . . . (18.

also bei gegebenem M sowohl von b als von Δy2 unabhängig.

Aus Gleichung (16. und (18. ergiebt sich ferner

. . . . . (19.

Mit Hilfe dieser einfachen Gleichung können wir für jeden Punkt x des Abschnittes a die zugehörige Ordinate der elastischen Linie sehr leicht bestimmen. Wir kennen aus Gleichung (9. die Durchbiegung f in der Kraftachse und können nach Fig. 2 die Lagertangente konstruieren. Damit ist aber sa = ha – f bekannt. Für ein beliebiges x < a berechnet man dann aus Gleichung (19. die Grösse sx und trägt diese auf der zugehörigen Ordinate der Lagertangente ab. Der so erhaltene Endpunkt der Strecke ist ein Punkt der elastischen Linie.

Textabbildung Bd. 318, S. 147

Da die Strecken sx in späteren Abschnitten eine bedeutsame Rolle spielen werden, wollen wir der Kürze halber eine besondere Bezeichnung dafür einführen. Wir gehen dabei von der Betrachtung aus, dass der Träger in der Ruhelage mit der Richtung der einen (z.B. der linken) Lagertangentezusammenfiele und dass die Biegungskurve entstanden wäre unter der Einwirkung des rechten Auflagerdruckes, der das freie Ende des Trägers von der Richtung der linken Lagertangente weg nach oben biegt. Wir wollen daher die Strecken sx als „Aufbiegung“ bezeichnen.

Für die Aufzeichnung der elastischen Linie empfiehlt es sich, den zu

gehörigen Kurvenpunkt zu bestimmen, da man (Fig. 2) von der Konstruktion der Lagertangente her bereits die Vertikale 4/4' im Punkte
hat. Für diesen Fall muss nach Gleichung (19. sein

Da nun auf der Vertikalen 4/4' bereits durch die Linien 1/6 und 1/8 die Strecke

abgeschnitten wird, so braucht man nur diese Strecke in vier gleiche Teile zu teilen. Der der Lagertangente zunächst liegende Teilpunkt 13 ist der gesuchte Punkt der elastischen Linie.

Wir wollen nun für einen beliebigen Punkt der Kurve die zugehörige Tangente bestimmen. Um sie in einfacher Weise konstruieren zu können, brauchen wir nur den von ihr auf der Lagervertikalen 1/1' gebildeten Abschnitt zu bestimmen, den wir mit gx bezeichnen wollen (Fig. 3).

Für den in Fig. 1 dargestellten allgemeinen Fall, in dem die beiden Lager einen Höhenunterschied Δy2 haben, erhalten wir für den gesuchten Abschnitt

Setzt man hier für y den Wert aus Gleichung (5. und für

den Wert aus Gleichung (10. ein, so erhält man

. . . (20.

einen Wert, der wieder von Δy2 und bei gegebenem Moment auch von b unabhängig ist.

Aus Gleichung (18. und (20. ergiebt sich die sehr einfache Beziehung

gx = 2 . sx . . . (21.

Da die Grösse gx ebenfalls für die späteren Konstruktionen viel verwendet wird, wollen wir sie der Kürze wegen einfach als Tangentenabschnitt bezeichnen und darunter stets den von einer beliebigen Kurventangente auf der Lagervertikalen gebildeten Abschnitt verstehen.

Wir finden somit aus den oben gegebenen Ableitungen folgende wichtige Sätze:

Satz 2. Für alle Punkte zwischen dem einen Lager und der Kraftachse ist der Tangentenabschnitt gleich der doppelten zugehörigen Aufbiegung.

Satz 3. Ist bei einem Träger der eine Stützdruck gegeben, so ist für alle Punkte zwischen dem Lager und der Kraftachse die Aufbiegung und der Tangentenabschnitt unabhängig vom Horizontalabstande und vom Höhenunterschiede des andern Lagers.

Es mag bei dieser Gelegenheit noch einmal ausdrücklich auf die für den Höhenunterschied Δy2 gemachte Voraussetzung hingewiesen werden, dass nämlich Δy2 im Vergleich zur Trägerlange sehr klein ist.

Die Bedeutung des Satzes 3 zeigt sich in Fig. 4. Wenn wir für einen beliebigen Punkt x des daselbst dargestellten Trägers die Aufbiegung sx und den Tangentenabschnitt gX, also auch die zugehörige Tangente bestimmt haben, so wissen wir, dass für jeden andern Träger mit gleichem E und J und gleichem Stützdruck im linken Lager für Punkt x die Aufbiegung sx und der Tangentenabschnitt gx genau dieselben Werte haben, wie für den ersten Träger, dass also die beiden Tangenten die Lagervertikale im selben Punkte schneiden. Solche Tangenten wollen wir der Einfachheit halber als verwandte Tangenten bezeichnen. Wir haben dann folgenden Satz: