Text-Bild-Ansicht Band 318

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Satz 4. Verwandte Tangenten schneiden sich auf der zugehörigen Lagervertikalen.

Textabbildung Bd. 318, S. 148

Die Tangente im Angriffspunkte der Kraft P.

Aus Gleichung (21. folgt ohne weiteres für x = a (Fig. 3)

ga = 2 . sa . . . . (22.

und entsprechend

ga = 2 . sb . . . . (23.

Setzt man in diese Gleichungen die Werte (16. und (17. ein, so erhält man

. . . . (24.

. . . . (25.

Kennt man bereits die Durchbiegung f, so kann man die beiden Tangentenabschnitte auch aus dieser bestimmen. Aus den Gleichungen (22. und (14. bezw. (23. und (15. ergiebt sich nämlich

. . . . (26.

. . . . (27.

Durch Multiplikation dieser beiden Gleichungen erhält man schliesslich

gagb = f2 . . . . (28.

Satz 5. Die Durchbiegung f im Angriffspunkte der Kraft P ist das geometrische Mittel der beiden zugehörigen Tangentenabschnitte ga und gb.

Aus den bisherigen Ableitungen ergiebt sich ohne weiteres, wie der Verlauf der elastischen Linie einer zweifach gestützten glatten Trägers mit Innenlast in einfachster Weise aufgezeichnet werden kann. Man berechnet zunächst nach Gleichung (9. die Durchbiegung f im Angriffspunkte der Kraft P. Dann werden nach Fig. 2 die beiden Lagertangenten konstruiert, die uns die Aufbiegungen sa und sb liefern. Nach Fig. 3 kann dann ein beliebiges Kurvenpunkt unter Benutzung der Gleichung (19. für die Aufbiegung bestimmt werden, zu dem sich nach Gleichung (21. ohne weiteres die zugehörige Tangente ergiebt. Schliesslich findet man unter Berücksichtigung der Beziehungen ga = 2sa und gb = 2sb nach Fig. 3 die Tangente im Punkte der Durchbiegung f.

Will man nur diese Tangente der elastischen Linie im Angriffspunkte der Kraft P bestimmen, so ist es nicht erst nötig, die Lagert an genten und die Grossen sa und sb zu ermitteln. Man bestimmt dann einfach die Tangentenabschnitte ga und gb nach den Beziehungen (26. und (27.

Die sehr einfache Konstruktion ist aus Fig. 5 ohne weiteres ersichtlich. 7/8 ist die gesuchte Tangente, die natürlich durch Punkt 4 gehen muss, was als Kontrolle für genaues Zeichnen dienen kann.

Wir haben jetzt immer nur den linken Kurvenast zwischen Lager und Kraftachse betrachtet. Es ist selbstverständlich,dass für den rechten Kurvenast b in sich genau dieselben Sätze gelten, wie sie bisher für den linken (a) abgeleitet wurden. Wir wollen jetzt untersuchen, wie die Tangenten des einen von den Grossen des anderen Astes abhängen.

Textabbildung Bd. 318, S. 148
Textabbildung Bd. 318, S. 148

In Fig. 6 ist die elastische Linie eines Trägers aufgezeichnet einmal für den Fall horizontaler Lagerung (y-Kurve) und dann für den Fall, dass die Lager einen Höhenunterschied Δy2 haben (y'-Kurve), wobei Δy2 den auf S. 145 gemachten Voraussetzungen genügen möge. An beide Kurven sind im Punkte x (> a) die Tangenten gelegt. Dann zeigt sich, dass auch hier der auf der linken Lagervertikalen gebildete Tangentenabschnitt für beide Kurven gleich, also unabhängig vom Lagerhöhenunterschiede Δy2 ist. Der Beweis ist sehr einfach. Es sei zunächst gx' der Abschnitt für die y'-Kurve, gx der für die y-Kurve. Nach Satz 1 sind die absoluten Durchbiegungen der beiden Kurven einander gleich; also

(in Fig. 6 ist Δy2
negativ angenommen.)