Text-Bild-Ansicht Band 318

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Daher für

der Reihe nach

und für

der Reihe nach

In Fig. 6 ist a1 = 0,2 . l, also a2 = 0,8 . l genommen worden. Es entsteht deshalb

z' = 0,8 . x – 0,64 . z

und

z'' = 0,2 . x – 0,64 z

Man hat für

und für

der Reihe nach

In Fig. 7 ist a1 = 0,1 l, also a2 = 0,9 l genommen worden. Wir haben deshalb

z' = 0,9 x – 0,36 . z

und

z'' = 0,1 x – 0,36 . z

Für

= 0,1 entsteht

und für

entsteht der Reihe nach

Um grosse Ordinaten zu erhalten, wurden übrigens für die Zeichnungen der Einflusslinien, sowie für die folgende die Gleichungen

und

welche mit den Gleichungen 5.) und 6.) ganz übereinstimmen, angewendet. Hierbei ist n eine beliebige Zahl, welche man als ganze, recht grosse Zahl wählen muss. Für die Zeichnungen ist stets n = 10 genommen.

Man nenne F den Inhalt irgend einer Einflussfläche für das Biegungsmoment eines Punktes des Bogens und denke sich das Gewölbe mit g für die Längeneinheit gleichmässig belastet, so ergibt sich das Biegungsmoment

M = g . F.

für den betreffenden Punkt.

Wenn aber der Bogen vollständig gleichmässig belastet ist, so ist bekanntlich dafür die Parabel die Stützlinie, und da der flache Kreisbogen als Parabel angesehen werden kann, so ist der Bogen selbst Stützlinie für die gleichmässige Belastung. Es können dann aber in keinem Punkte des Bogens Biegungsmomente entstehen und jeder Querschnitt wird in allen Punkten gleich stark beansprucht. Hieraus folgt, dass M = 0, also auch F = 0 sein muss. Es sind also bei allen gezeichneten Einflussflächen die unter der Grundlinie

liegenden Teile genau so gross, wie die darüber gezeichneten Teile. Dies gilt aber nicht nur für die gezeichneten Flächen, sondern auch für die Einflussfläche des Biegungsmomentes eines beliebigen Punktes des Bogens.

Will man nun z.B. im Punkte M das grösste Biegungsmoment haben, so muss man (zu beachten Fig. 1 und 3) den Bogen entweder zwischen a1' und b1 und zwischen a2' und b2 oder zwischen b1 und b2 allein belasten. Befindet sich eine Last über b1 oder über b2, so wird hierdurch in M kein Biegungsmoment hervorgebracht, wenn auch die Lasten noch so gross sind, vorausgesetzt jedoch, dass die Elastizitätsgrenze nicht überschritten wird, weil die Untersuchung nur innerhalb der Elastizität Giltigkeit hat. Die Einflussfläche zwischen b1 und b2 nehmen wir positiv, es hat dies folgende Bedeutung. Befindet sich zwischen b1 und b2 eine Last, so werden die oberen Fasern des Querschnitts von M gedrückt und die unteren Fasern gezogen. Befindet sich jedoch eine Last im übrigen Teile des Gewölbes, also entweder zwischen a1' und b1 oder zwischen a2' und b2, so werden die oberen Fasern desselben Querschnitts gezogen und die unteren Fasern werden gedrückt. Aehnliche Betrachtungen können wir für alle übrigen Querschnitte machen, sodass wir sie unterlassen können.

II.

In der Untersuchung ist stillschweigend vorausgesetzt worden, dass der Bogen überall denselben Querschnitt hat. Der Querschnittsbestimmung werden wir deswegen die Einflussfläche zu gründe legen, welche die grösste Ausdehnung zeigt. Ein Blick auf die Abbildungen zeigt uns, dass hierzu entweder Fig. 5 oder Fig. 6 passt. Wir wollen uns nun überzeugen, ob dazwischen eine Figur ist, welche noch grössere Ausdehnung zeigt, als diese Figuren. Wir nehmen deswegen

a1 = 0,25 l und a2 = 0,75 l

Hierdurch erhält man

. . . 7.)

und

. . . 8.)

Man hat für

der Reihe nach

und für

der Reihe nach

Wie wir sehen, besitzt diese Einflussfläche die grössten Ausdehnungen und sie ist daher der Querschnittsbestimmung des Gewölbes allen übrigen vorzuziehen. Indem wir dies tun, behaupten wir zugleich, dass die gefährlichen Querschnitte des Bogens sich in den Abständen 0,25 l =

l von dem linken und dem rechten Auflager befinden. Es kann möglicherweise eine Einflussfläche vorhanden sein, welche noch grössere Ausdehnungen wie diese hat; wenn wir jedoch die Fig. 5, 6 und 8 (und in letzterer ist die Einflusslinie gezeichnet worden für a1 = 0,25 und a2 = 0,75) betrachten, so erkennen wir, dass der Unterschied nicht mehr gross ist, sodass wir Fig. 8 der Bestimmung des Maximalbiegungsmomentes und die Fig. 2 der Bestimmung der Horizontalkraft zur Ermittlung des Bogenquerschnitts zu gründe legen können. Es genügen also dazu allein die Fig. 2 und 8.

Zur Querschnittsberechnung hat man also nur folgende Gleichungen zu benutzen