Text-Bild-Ansicht Band 318

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Ml = P . z' und M1 = P . z''

und

Das Maximalbiegungsmoment entstellt, wenn der Bogen zwischen a1' und c oder zwischen a2' und c in Fig. 8 belastet ist. Beide Flächenteile werden bei beweglicher Last zu verwenden sein, bei gleichmässig verteilter Last genügt jedoch der Teil zwischen c und a2' allein. – Wir haben aus den letzten Gleichungen

d.h.

als massgebend. Für eine Belastung über c entsteht Mr = 0, und unser Ziel ist vor allen Dingen die Strecke

zu bestimmen.

Aus der Gleichung ergibt sich

d.h.

Aus dieser Gleichung erhält man

= 0,571 l; denn

(0,571)3 = 0,186169411

= 0,466666667

Gibt zusammen 0,652836078.

Ferner ist

(0,571)2 = 0,326041, also 2 . 0,326041 = 0,652082

Der Fehler beträgt demnach nur: 0,000454.

Wenn man also den Bogen von dem einen Auflager an auf die Strecke 0,571 der Spannweite, oder von dem anderen Auflager an auf die Strecke 1 – 0,571 = 0,429 der Spannweite belastet, so wird das Maximalbiegungsmoment erzeugt; falls die Belastung gleichmässig verteilt ist. Bei beweglicher Belastung wird man selbstverständlich auch die Strecken 0,571 und 0,429 benutzen und sich dann der Formeln

Ml = P . z' und Mr = P . z''

bedienen.

Wir schreiben noch

und haben für eine gleichmässig verteilte Belastung das Maximalbiegungsmoment mit g für die Längeneinheit

für x = 0,571 l

Aus dieser Gleichung folgt ohne Rücksicht auf das Vorzeichen

Mmax = 0,0165 . g . l2

wie schon Melan gefunden hatte. In der Praxis nimmt man unrichtiger Weise dafür 0,0156 . g . l2, weil vorausgesetzt ist, dass es eintritt, wenn die Hälfte des Bogens belastet ist.

III.

Es möge C der Schwerpunkt eines beliebigen Querschnitts des Bogens in Fig. 9 sein. Man verbinde ihn mit dem Mittelpunkt O desselben und nenne α den Winkel, welcher diese Verbindungslinie mit

bildet. Im Querschnitt wirkt ausser dem Biegungsmomente die Querkraft A und die Horizontalkraft X. Man zerlege beide Kräfte in Seitenkräfte normal und in Richtung zum Querschnitt. Den Einfluss dieser Seitenkräfte vernachlässigen wir als zu unbedeutend. Jene Seitenkräfte ergeben nun die Normalkraft

A . sin α + X . cos α

Textabbildung Bd. 318, S. 564

Da nun α sehr klein ist, so setze man

sin α = 0 und cos α = 1

und hat einfach X als Normalkraft aufzufassen. Wir nennen weiter MO das Biegungsmoment dieses Querschnittes vom Inhalte F und dem Widerstandsmomente W, so hat man für die Beanspruchung in den äussersten Faserschichten die Formel

Befinden sich nun auf dem Gewölbe die Lasten P1, P2, P3 .... und sind deren Ordinaten in der Einflussfläche für die Horizontalkraft der Reihe nach z1, z2, z3 ..., so ist

zu setzen und es sind sämtliche Ordinaten von gleichem Vorzeichen. Ferner nennen wir z1', z2', z3' die Ordinaten in der Einflusslinie für das Biegungsmoment, so hat man

M = P1 . z1' + P2z2' + P3z3' + ... = ΣPz'

wobei die Ordinaten von verschiedenen Vorzeichen sein können. Wir erhalten deswegen

Soll nun der Höchstwert von k ermittelt werden, so wird man bewegliche Lasten stets so stellen, dass die meisten Ordinaten z' von gleichem Vorzeichen sind. Da der Bogen überall denselben Querschnitt haben soll, so wird diese Gleichung für verschiedene Querschnitte angewandt werden müssen, bis man denjenigen gefunden hat, für welchen der Höchstwert von k den grössten Wert hat. Dieser Querschnitt kann dann als gefährlicher bezeichnet werden und sein Biegungsmoment und seine Querkraft sind zur Dimensionierung massgebend. Wie hierbei die Lasten zu stellen sind, ist bekannt, so dass wir darauf nicht einzugehen brauchen. Betrachten wir die Figuren 2 bis 8, so sehen wir, dass der gefährliche Querschnitt in der Nähe desjenigen liegen wird, welcher 0,25 der Spannweite von dem einen oder dem anderen Auflager entfernt liegt, so dass ein Auffinden desselben sehr rasch geschehen kann, was die statische Berechnung des Bogens wesentlich vereinfacht.

Es bleibt uns nunmehr nur übrig, den Fall zu erledigen, wenn der Bogen gleichmässig mit g für die Längeneinheit beansprucht ist.

Wir setzen hierbei einen rechteckigen Querschnitt von der Höhe h und der Breite b voraus, so ist

Man hat dann

Zunächst ist klar, dass der gefährliche Querschnitt entweder 0,25 oder 0,75 der Spannweite Abstand von dem