Text-Bild-Ansicht Band 322

Bild:
<< vorherige Seite

2. in Richtung der Binormalen;

S = S. . . . . . . 2)

Die Pressungen pds liefern in beiden Richtungen keine Beiträge.

Zur Ermittlung der Gleichgewichtsbedingung

3. in Richtung der Hauptnormale werden zunächst die Kräfte K, p. ds und T in Richtung der Binormalen auf die Schmiegungsebene des Punktes C projiziert (s. Fig. 7) und dann ihre Komponenten in radialer Richtung zu – K . dτ und + p . ds ermittelt; T liefert keine Beiträge.

Textabbildung Bd. 322, S. 308
Textabbildung Bd. 322, S. 308

Dann werden die Kräfte S zweckmäßig zunächst in Richtung der Tangente auf die Normalebene des Punktes C (s. Fig. 8) projiziert und dann die radiale Komponente zu + S . dϑ bestimmt.

Textabbildung Bd. 322, S. 308

Die Gleichgewichtsbedingung in Richtung der Hauptnormale lautet daher:

p . ds – K . dτ + S . dϑ = 0.

Mit Rücksicht auf die Beziehungen:

und

geht die letzte Kräftegleichung über in

. . 3)

b) Die drei Gleichgewichtsbedingungen für die Kräftepaare am Drahtelement.

Zur Vereinfachung der Darstellung werden für die Kräftepaare (der Ursprung liegt wieder in C) drei andere Achsenrichtungen gewählt, und zwar soll die erste gegeben sein durch eine durch den Schwerpunkt C gelegte wagerechte Gerade der rektifizierenden Ebene, die zweite durch eine Parallele zur Seilachse, die dritte durch den Radius in C.

4. Zur Untersuchung des Kräftepaargleichgewichts bezüglich der ersten Achse setze man zunächst die beiden Mτ zusammen. Sie liefern ein resultierendes Kräftepaar in der negativen Richtung des Radius (vergl. die Zusammensetzung der Kräfte K unter 3), also keinen Beitrag für die erste Achse. Dasselbe gilt für die beiden Mβ. Dagegen liefern die beiden wagerechten Mγ ein resultierendes Kräftepaar Mγ . dφ gerade in Richtung der ersten Achse (Fig. 9). Sucht man die durch die Einzelkräfte T bedingten Kräftepaare auf, so findet man bezügl. der wagerechten Achse für T das Kräftepaar T . ds . cos w; die K, S und pds ergeben den Wert Null. Man hat also als Gleichgewichtsbedingung:

Mγ . dφ – T . ds . cos w = 0. . . . 4)

5. An Hand der Fig. 10 werde die Kräftepaargleichung für die Richtung der Seilachse ermittelt.

Die Figur stellt eine Projektion sämtlicher Einzelkräfte in eine wagerechte Ebene dar. Als Bezugsachse selbst ist eine durch den Schnittpunkt D der Kräfte KK gehende Parallele zur Zylinderachse gewählt. Man erkennt, daß von den Einzelkräften nur die T ein Kräftepaar- und zwar, wenn dt den bezügl. Hebelarm bedeutet – den Beitrag 2 . T . dt liefern. Dagegen geben bezügl. D die Kräfte K', S' und pds den Wert Null. Ebenso liefern die sechs Kräftepaare der Mτ, Mβ und Mγ keine Komponente in Richtung der Seilachse.

Man hat also die Gleichgewichtsbedingung:

2 T . dt = 0, oder

T = 0. . . . . . . 5)

Das heißt: In Richtung des Radius tritt im Drahtquerschnitt keine Schubkraft auf, oder die am Drahtquerschnitt wirkende innere Kraft R (s. Fig. 2) liegt in der rektifizierenden Ebene. Mit T = 0 folgt aus Gleichung 4 sofort auch Mγ . dφ = 0 oder Mγ = 0. In Richtung der Hauptnormalen tritt somit auch keine Kräftepaarkomponente auf, so daß der Satz gilt: Die Achse des resultierenden Kräftepaares (s. Fig. 2) im Draht steht senkrecht auf der Hauptnormalen, liegt daher ebenfalls in der rektifizierenden Ebene.

Textabbildung Bd. 322, S. 308
Textabbildung Bd. 322, S. 308
Textabbildung Bd. 322, S. 308

6. Aufstellung der Kräftepaargleichung für den Radius des Punktes C.

In Fig. 11 ist das Drahtelement mit den an ihm wirkenden Kräften K, S, p . ds und Kräftepaaren Mτ, Mβ perspektivisch dargestellt.

Die Kräftepaare Mτ lassen sich zu einer Strecke Mτ . dτ zusammensetzen, die in die negative radiale Richtung fällt. Die Vereinigung der Kräftepaare Mβ liefert für die positive, radiale Richtung Mβ . dϑ. Die Schubkräfte S liefern in bezug auf den Radius ein Moment S . ds, dessen Strecke in die negative radiale Richtung fällt. Das Kräftepaar der Pressungen wird unendlich klein zweiter Ordnung, kommt also gegenüber denen erster Ordnung nicht in Betracht.