Text-Bild-Ansicht Band 316

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Wir erhalten demnach:

. . . . . 1)

II.

Die Kraft K in D zerlege man in zwei Seitenkräfte, von denen die eine in DC und die andere in BD zu liegen kommt. Da

ist, so ist erstere Seitenkraft 2 X . tgφ und letztere Seitenkraft gleich
.

Man stelle sich vor, dass BD allein elastisch ist, so bewirkt die im Punkte B wirkende Kraft K, dass sich B auf einem Kreisbogen um C als Mittelpunkt im Sinne des Zeigers einer Uhr dreht und dadurch die Stange BD verlängert wird. Bezeichnet man mit E1 den Elastizitätsmodul, mit F1 den Querschnitt der Stange BD, bedenkt dass ihre Länge

ist und die Verlängerung derselben von der Kraft
hervorgebracht wird, so ist letztere nach dem Hooke'schen Gesetze:
. Ist nun e der Abstand des Punktes C von BD und Δa die sehr kleine Veränderung des Winkels BCD,, so ist die Verlängerung auch gleich: e . Δα. Da der Abstand des Punktes C von AD ebenfalls gleich e und die sehr kleine Veränderung des Winkels ACD gleich – Δα ist, so ist die Verkürzung der Entfernung des Punktes A von D auch gleich e . Δα. Nennen wir sie Δb2, so ergibt sich:

. . . . . 2)

Nunmehr stelle man sich vor, dass CD allein elastisch ist. Die Kraft K in D bewirkt, dass sich der Punkt D um B als Mittelpunkt im Sinne des Zeigers einer Uhr drehen muss. Hierdurch wird die Länge der Strebe CD verkürzt. Wir nennen E2 den Elastizitätsmodul und F2 den Querschnitt dieser Strebe. Da ihre Länge l . tgφ ist und sie von der Kraft 2 X . tgφ beansprucht wird, so ist nach dem Hooke'schen Gesetze die Verkürzung gleich:

Ist weiter Δφ die sehr kleine Veränderung des Winkels CBD, welche bei der Verkürzung des Stabes entsteht, so ist die Verkürzung auch gleich: l . Δφ. Wir haben demnach die Gleichung:

Ist f der Abstand des Punktes B von AD, so verkürzt sich die Entfernung der Punkte A und D um f . Δφ = 2 l . sinφ. Δφ. Setzen wir letztere gleich Δb3, so ergibt sich:

. . . 3)

Wenn demnach der Träger AB infolge der Einwirkung der Kräfte K nicht gebogen werden könnte, so würde sich die Entfernung der Punkte A und B um Δb1 + Δb2 + Δb3, d.h. um:

verkürzen. Indem wir b diese Verkürzung nennen, erhalten wir endlich:

. . 4)

III.

Nunmehr stellen wir uns vor, dass der Balken AB in Fig. 2 allein elastisch ist, also sowohl die Strebe CD, als auch die Zugstange BD starr sind; wir untersuchen zunächst den Teil zwischen A und C und es sei V der Schwerpunkt irgend eines Querschnitts davon, welcher letzterer von AD in V1 getroffen wird. Man verlege dieKraft K von A nach V1 und zerlege sie in zwei Seitenkräfte, von denen die eine entlang dem Querschnitte und die andere, welche übrigens gleich X ist, senkrecht zum Querschnitte wirkt. Erstere beansprucht die in der Nähe vom Querschnitte befindlichen Faserstücke auf Scherfestigkeit; da dieselbe jedoch bedeutungslos ist, so wird sie, wie es üblich ist, vernachlässigt. In V denke man sich zwei parallele zu X und dazu gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte angebracht. Die von der gleichgerichteten Kraft erzeugte Formänderung des Trägers AB haben wir bereits festgestellt, brauchen sie also nicht mehr zu untersuchen; die andere jedoch bildet mit der Kraft X in V1 ein Kräftepaar und beansprucht den Balken auf Biegung. Setzt man VV1 = y, so ist das Moment dieses Kräftepaares, welches den Balkenteil AV im entgegengesetzten Sinne des Zeigers einer Uhr dreht: X . y. Es drehen dagegen im Sinne des Zeigers einer Uhr diesen Balkenteil die äusseren Kräfte. Nennen wir M das Moment, welches von den äusseren Kräften erzeugt wird, so wird der Balkenteil AV von dem Momente

M = X . y – M

beansprucht. Je nachdem nun M positiv oder negativ ist, wird eine Zu- oder Abnahme der Entfernung der Punkte A und B erzielt. Hierbei möge sich der Querschnitt mit dem Schwerpunkte V um Δγ drehen, es ist dann, wenn Ax das Element der Strecke AC ist, bekanntlich

Es entsteht demnach aus den beiden Gleichungen:

E . J . Δγ = X . y . Δx – M . Δx.

Hierbei möge sich die Entfernung der Punkte A und B um Δλ1 verändert haben. Es ist dann, wenn z der Abstand des Punktes V von AD ist: Δλ1 = z . Δγ. Es ist jedoch: z = ycosφ. Wir erhalten demnach zunächst: Δλ1 = y . cosφ. Δγ und dann:

Auf diese Weise können wir Δλ1 für jeden Querschnitt zwischen A und C ermitteln. Alle diese Δλ1 müssen nun addiert werden und geben als Summe die Strecke λi, um die sich die Entfernung der Punkte A und D verändert, wenn der Balkenteil AC infolge der äusseren Belastung und der Kraft K sich biegt.

Wir erhalten:

Man setze VA = x, so ist

und es entsteht auch:

Hierin ist nun

nichts anderes, als das statische Moment des Dreiecks ACD in Bezug auf A als Momentenpunkt und dasselbe ist:
.

Es ist demnach:

.

Weiter zeichne man für das System der gegebenen Belastungen mit einem beliebigen Polabstande H die Momentenfläche ap1p2p3p4b, welche von der mit CD zusammenfallenden Geraden in c und d getroffen wird, und nennen s1 den Abstand des Schwerpunktes S1 des Flächenteiles acdp2p1 von der durch A zu den Kräften P1, P2, P3 und P4 parallel gelegten Geraden. Bezeichnet man noch diesen Flächenteil mit

so ist bekanntlich:

Hierdurch ergibt sich schliesslich:

. . 5)