Text-Bild-Ansicht Band 316

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IV.

Textabbildung Bd. 316, S. 11

Wir untersuchen jetzt endlich den Teil des Balkens zwischen C and B. W sei der Schwerpunkt irgend eines Querschnittes davon und möge AD in W1, dagegen DB in W2 treffen. Dieser Querschnitt wird nicht nur von dem Momente M der äusseren Kräfte und von X, letztere Kraft senkrecht zum Querschnitte in W1 wirkend, sondern auch von der Kraft 2 X . tgφ in C, senkrecht zum Balken wirkend, beansprucht. Diese Kraft ist jedoch eine Komponente von der in D wirkenden Kraft K, also nicht von der in A wirkenden. Diese Kraft, also auch die Komponente 2 Xtgφ als Ersatz derselben, dreht nun den Trägerteil CD im Sinne des Zeigers einer Uhr, also gerade so wie die äusseren Kräfte. Es muss nun sein:

Hierin ist jedoch

2 CW . tgφ = W1W2.

Setzen wir

, so entsteht

M = X . y – M . . . . . 6)

Dies ist aber der Form nach genau dieselbe Formel, wie für den anderen Trägerteil AC.

Benennt man daher mit λ2 die Aenderung, um welche die Entfernung der Punkte A und D infolge der Biegung des Trägerteiles CB geschieht, so ergibt sich, ähnlich wie vorhin:

1)

Hierin ist wiederum

. Bezeichnet man die Fläche cbp4p3d mit
den Abstand ihres Schwerpunktes S2 von den durch B zu den gegebenen Lasten gelegten Parallelen mit s2, so ist hier:

.

Es ergibt sich daher:

. 6)

Die Gleichungen 4), 5) und 6) kann man nun addieren, weil sie ja alle eine Verkürzung der Entfernung der Punkte A und D bedeuten. Wir setzen b + λ1 + λ2 = b1. Es ist dann:

Bezeichnen wir nun mit E2 den Elastizitätsmodul und mit F2 den Querschnitt des Stabes AD, also genau so wie des Stabes BD, so ist die Verlängerung der Entfernung der Punkte A und C, welche von der Stange AD2) hervorgebracht wird, nach dem Hooke'schen Gesetze gleich:

Dieselbe muss nun gleich – b1 sein, weil ja + b1 eine Verkürzung bedeutet. Es entsteht demnach aus den beiden Gleichungen:

und hieraus folgt endlich, wenn man

setzt:

. . . . 8)

Diese Gleichung stimmt mit der von Herrn Prof. Müller-Breslau in dem Buche: „Die neueren Methoden der Festigkeitslehre“, Leipzig, Baumgärtner's Buchhandlung, Jahrgang 1893, Seite 98, gefundenen für X überein. Was jedoch die Koeffizienten μ anbelangt, so hat Herr Prof. Müller-Breslau

statt

erhalten. Dies rührt daher: Ich habe angenommen, dass wenn die Kraft X auf die Balken AB in Richtung der Achse wirkt, alle Teile desselben eine elastische Formänderung erfahren, so dass wenn in der Fig. 1 der Punkt A nach A1 gelangt, der Punkt C nach C1 gekommen sein muss, so zwar, dass

ist. Hätte ich jedoch angenommen, dass nur der Teil des Balkens bei A allein eine Längenveränderung erfährt, so dass also der Punkt C seine Lage nicht ändern kann, so hätte ich genau dasselbe Ergebnis wie Herr Prof. Müller-Breslau für μ erhalten. Es ist dies eine Angelegenheit, welche nur durch den Versuch, meiner Ansicht nach, entschieden werden kann.

1)

Ist nämlich Δλ2 die Veränderung der Entfernung der Punkte A und D, wenn sich der Balkenteil von A bis W mit Δγ um W dreht, und ist ferner Δε die Veränderung des Winkels ACD, welche hiermit zugleich geschieht, so ist zunächst Δλ2 = e . Δε, wenn, wie bereits gesagt worden ist, e der Abstand des Punktes C von AD ist. Es ist jedoch, wie sich leicht ableiten lässt, CB . Δε = WB . Δγ. Hieraus folgt:

.

Es ist jedoch auch e der Abstand des Punktes C von BD. Daher ist:

Wir erhalten deswegen: Δλ2 = ycosφ . Δφ. Nun ist

und daher

Die übrige Entwickelung ist genau so, wie vorher, so dass diese Gleichung für λ2 entsteht.

2)

Daher ist AD thatsächlich eine Zugstange.