Text-Bild-Ansicht Band 316

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Wir bezeichnen mit x' die Entfernung des Punktes C' vom linken Auflagerdruck, und mit M' das Biegungsmoment der gegebenen Kräfte für den Querschnitt mit C' als Schwerpunkt. Es lässt sich dann genau so wie vorher entwickeln, dass

E . J . l . Δα' = M' . x' . Δx'

ist, wobei Δx' das Element der neutralen Faser bei C' ist.

Den Weg

zerlege man wiederum in zwei zu einander senkrechte Komponenten, von denen die eine
parallel zu mn und daher die andere
senkrecht zum Balken ist. Diese nennen wir Δσ' und jene Δτ'. Es ergibt sich nun, wenn a der Abstand des Punktes Q vom rechten Auflagerdruck ist:

Δσ' = a . Δα'

und

Δτ' = v . Δα'

oder auch:

und

So können wir Δσ' und Δτ' für jeden Querschnitt von B bis Q bilden und auch sämtliche Δσ' und Δτ' addieren, weil sowohl die ersteren, als auch die letzteren zu einander gleichgerichtet sind. Setzen wir nun erstere Summe σ' und letztere Summe τ' und bedenken, dass

∫ M' . x' Δx = Fb . sb . H

ist, so entsteht:

. . . . 3)

und

. . . . 4)

Da aber endlich einerseits σ und σ' und andererseits τ und τ' gleichgerichtet sind, so kann man sie auch bezw. zusammenzählen und setzt man σ + σ' = X und τ + τ' = Y, so ergibt sich:

. . . . 5)

und

. . . . 6)

Der wirkliche, von Q zurückgelegte Weg ist endlich

, und bildet X mit diesem Wege den Winkel q, so ist
und hieraus lässt sich die Richtung des Weges angeben.

Was X anbelangt, so ist diese Komponente für alle Punkte ein und desselben Querschnitts konstant, weil ja X unabhängig von v ist; dagegen ist Y für jeden Punkt des Querschnitts verschieden gross, und für einen einzigen Punkt ist Y = 0, nämlich wenn die Klammer in der Formel 6 gleich Null ist. Man findet aus der daraus sich ergebenden Gleichung die Entfernung des betreffenden Punktes von

, nämlich:

. . . . 7)

Ist ferner a = 0, d.h. liegt der Punkt in dem Querschnitte, in welchem das rechte Auflager ist, so ist auch Fa = 0 und daher, wie vorauszusehen war, X = 0; dagegen ist:

. . . . 8)

Wenn weiter b = 0 ist, so ist auch Fb = 0 und es ergibt sich wiederum X = 0, dagegen:

. . . . 9)

Im vorigen Falle erhält man Y = 0, wenn v = 0 ist, was ja wiederum vorauszusehen war; in diesem Falle jedoch, wenn:

ist.

Unter sa ist hier rfie Entfernung des Schwerpunktes der Fläche bo P1 P2 P3 P4 a vom rechten Auflager zu verstehen. In dieser Entfernung

von
gibt es demnach einen Punkt, welcher ganz unbeweglich ist. Befestigt man in diesem Punkte und im Punkte A den Balken, so dass also diese beiden Punkte feste Auflager desselben sind, so verhält er sich gerade so, wie ein auf zwei Stützen frei aufliegender Balken; die Stützdrücke sind dann parallel zu den gegebenen Lasten; es kommen nur Biegungsspannungen vor, d.h. zur statischen Berechnung bedient man sich der Formel M = k . W für irgend einen Querschnitt, wenn M das Biegungsmoment, k die Beanspruchung in der äussersten Faser und W das Widerstandsmoment des Querschnittes sind; anderenfalls muss man sich nämlich der Formel:

bedienen, wenn P die statisch unbestimmte Kraft ist, welche sich ergibt, wenn man einen anderen Punkt festmacht, wobei noch F die Querschnittsfläche des Balkens bedeutet.

Anwendung findet die Untersuchung bei solchen Trägern, welche auf beliebig vielen Auflagern ruhen, z.B. bei Querträgern von Brücken, welche mit Längsträgern vernietet sind.

Ventilspiel bei Pumpen und Gebläsen.

Von Karl Rudolf in Bochum.

(Schluss von S. 309 d. Bd.)

5. Stabilität der Ventilbewegung.

Für das masselose Ventil mit konstanter Spaltgeschwindigkeit ergab sich Gleichung 14

zur Bestimmung des Verspätungswinkels a.

Wir nehmen nun jetzt die Spaltgeschwindigkeit u als mit der Zeit t veränderlich an und untersuchen, für welche Form der Funktion u von t das Ventil dieselbe Schwingungsdauer hat wie der Kolben; wenn dies der Fall ist,so wollen wir die Ventilbewegung stabil nennen. Dazu ist offenbar erforderlich, dass der Verspätungswinkel α unabhängig von der Zeit t ist, damit das Ventil bei jedem Kolbenspiel stets pünktlich im gleichen Zeitpunkt hinter den Totlagen öffnet und schliesst. Allgemeiner wäre der Fall, wo der Eröffnungsverspätungswinkel nicht gleich dem Schlussverspätungswinkel wäre; wir wollen aber Gleichheit der Winkel annehmen.

Wir knüpfen an die Teilgleichungen 12 und 13 an

f . c = F . U . sin α . cos β . . . 12)

lu . h = F . U . cos α . sin β . . . 13)