Text-Bild-Ansicht Band 316

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Für den Teil „CB“ wird

Für den zweiten Teil AB

Dem Punkte a entspricht

. Die Normalkraft P = 0, daher die Spannung im Punkte „a“ von A ausgerechnet

das ist

Rechnen wir von der anderen Seite, d. i. von C, dann ist

das ist

Da der Unterschied in den Werten der Spannung in ein und demselben Punkte desselben Querschnittes nicht etwa einem Rechnungsfehler zuzuschreiben ist, die Möglichkeit desselben aber nicht zugegeben werden kann, so kommt man zu dem Schlusse, dass die Formel auf Grund einer Voraussetzung abgeleitet sein muss, welche mit den Verhältnissen der oben gestellten Aufgabe unvereinbar ist.

Zu bemerken ist noch, dass die Gleichung 1 auch geschrieben werden kann

. . . . . . . . . . 1b)

worin

ist.

Uebrigens ist die obige Aufgabe nicht die einzige, bei welcher die Gleichung 1 auf einen Widerspruch führt, es gibt auch eine andere, bei welcher die Gleichung 1 geradezu unmögliche Spannungswerte ergibt, wie nachstehendes zeigt.

Textabbildung Bd. 316, S. 406

Es sei BAC (Fig. 2) die Schwerpunktsfaser eines Trägers von rechteckigem Querschnitt. In B wirkt die Kraft R, man bestimme die Normalspannung im Querschnitt mit OAQ.

Da hier r = e1 wird

Das Moment hR strebt die krumme Mittellinie gerade zu richten, ist somit negativ. Die Normalkraft P = Rcosφ. Wir nehmen h = 5e, somit nach der modifizierten Gleichung 1b

Das letzte Glied fällt weg und für φ = 60° bleibt

wenn f = 2eb die Fläche des Querschnittes. Nach der Gleichung 1 würde daher in jedem Punkte des Querschnittes OQ ein und dieselbe Spannung, und zwar überall Druckspannung herrschen. Eine Ausnahme macht nur die Kante O.

Da für diese η = – e, wird

Bestimmen wir den Wert von ∞ . 0.

Wenn r nicht gleich e, η hingegen = e, dann ist der Nenner des letzten Gliedes

Für r = e wird

(bln2e – f) 0 = 0

nur

– b (c – e)ln(e – c) = b . 0 . – ∞.

Somit ist

lim – b (r – e)ln(r – e) = X

für r= e zu bestimmen.

Nachdem nun der Nenner von 5Re2 Null ist, wird

d.h. in der Kante O erzeugt jedes Moment eine unendlich grosse Zugspannung. Es müsste somit auch das kleinste Moment den Haken abbrechen. Unmittelbar neben der unendlich grossen Zugspannung herrscht aber schon nur mehr die in allen Punkten konstante Druckspannung

. Dies scheint mir der klarste Beweis für die Unhaltbarkeit der Gleichung 1 zu sein.

Textabbildung Bd. 316, S. 406

Nachdem die Gleichung 1 unter der Voraussetzung abgeleitet ist, dass die Querschnitte, welche vor der Belastung eben und senkrecht auf die Schwerpunktsfaser waren, auch während der Belastung dieselbe Form und Lage beibehalten, diese Voraussetzung aber, wie wir gesehen, unhaltbar ist, müssen wir versuchen, die Spannungsformel unter einer anderen, zutreffenderen Voraussetzung abzuleiten. Machen wir vorläufig keine andere Annahme als die, die Spannung sei der relativen Dehnung proportional, welche das Grundgesetz der heutigen Festigkeitslehre ist.

Es sei AA (Fig. 3) die Schwerpunktsfaserschichte und BB eine beliebige, der ersteren parallele Schichte; OA0