Text-Bild-Ansicht Band 316

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des Querschnittes (wegen der Veränderung der Kantenwinkel im unendlich kleinen Prisma) offenbar Schubspannungen wachruft, welche die Gestalt der gekrümmten, vorher ebenen Querschnitte jedenfalls beeinflussen, hier nicht berücksichtigt sind.

Nur wenn der Stab ursprünglich gerade ist, wird φ = dφ = 0, daher nur dann ist dw = 0 und ξ = 0, d.h. nur dann bleiben die ebenen Querschnitte des unbelasteten Stabes auch im belasteten eben.

Die Gleichung 6 vereinfacht sich nun

daraus wird die Aenderung des Krümmungswinkels der Schwerpunktsfaser

. . . . . . . . . . 7)

Ferner ist für diese Faser

d.h.

mit rρ dividierend

womit der neue Krümmungsradius der Schwerpunktsfaserschichte bestimmt erscheint.

Da

neben E verschwindet, genügt

. . . . . . . . . . 8)

Die Gleichungen 5, 7 und 8 erledigen die Frage der Biegung des krummen Trägers und beheben den Widerspruch, welcher sich bei den Spannungen zeigt, wenn man annimmt, der Krümmungshalbmesser der Schwerpunktsfaserschichte ändere sich irgendwo plötzlich.

Berechnen wir jetzt den Wert der Spannung in der eingangs erwähnten Aufgabe, dann finden wir

ob wir von der einen oder anderen Seite ausgehen. Was die Krümmung der Querschnitte anbelangt, so wäre eine direkte Beobachtung derselben natürlich das sicherste Mittel zur Entscheidung der Frage. Es ist aber zu bezweifeln, dass man selbst mit den feinsten Instrumenten dieselbe wahrnehmen wird, denn erstens ist bei allen Materialien, selbst Gummi, die Spannung σ so klein gegen den Elastizitätsmodulus, dass in der Gleichung 3 statt E + σ unbedingt E allein gesetzt werden kann, und dann kann auch ξ = 0 sein, d.h. die Krümmung der Querschnitte ist eine verschwindende Grösse; zweitens wirken der Entstehung der Krümmung, wie schon erwähnt, die auftretenden Schubspannungen entgegen, besser gesagt, ziehen die ohnehin kaum merkbare Grösse noch herab.

Ich habe mit verschiedenen geschlossenen und offenen Gummiringen, ferner mit verschieden gekrümmten Guttaperchastücken, unter anderem auch S-förmigen Stücken von rechteckigem Querschnitte, Versuche gemacht, aber die vorher mit Bleistift bezeichneten oder fein eingeritzten ebenen Querschnitte haben keine Spur von Krümmung gezeigt, obwohl bei den Guttaperchastücken schon der Kiss begann.

Es ist ja möglich, dass die Integration der richtigen Differentialgleichungen, welche sich auf den krummen Träger beziehen, auf die Art, wie sie de Saint-Venant für den geraden Träger durchgeführt hat, dahin führt, dass die Querschnitte eben bleiben, obgleich die Spannung eine lineare Funktion der Koordinaten des betreffenden Punktes im Querschnitte, d.h. in unserem Falle

σ = aη + b

ist. Dann kann die nachstehende Darstellung der Wahrheit am nächsten stehen.

Es sei in Fig. 5 ABCD ein differentialer Teil eines krummen Trägers, QS = r der Krümmungshalbmesser der Schwerpunktslinie.

Textabbildung Bd. 316, S. 408

Das Moment M, welches auf den Querschnitt CD wirkt, verdreht denselben so, dass er in die Stellung EF kommt. Der Winkel CGE = dw ist dann die Zunahme des Krümmungswinkels, so dass, wenn OS = ρ der neue Krümmungshalbmesser

rdφ = ρdψ = dl

ist.

Ferner ist, wenn σ die Spannung in G, σ jene in S ist

und

. . . . . . . . . . 9)

Es ist aber

σ – σ = aη,

daher

σ = aη + σ,

somit, wenn P die Normalkraft und M das biegende Moment ist

P = ∫σdf = a∫ηdf+ σ ∫df,

d. i.

P = σ f

und

M = ∫σηdf = a∫η 2 df +σ ∫ηdf,

d. i.

M = aJ,

d.h.

also ist, wie nach Gleichung 5,

Dies in die Gleichung 9 eingesetzt, gibt

oder wie Gleichung 8

Die Normalkraft P dehnt die Fasern, trotz ihrer durch das Moment hervorgerufenen verschiedenen Spannungen, im gleichen Verhältnis, z.B.

also

Die Querschnitte bleiben dann eben. Der Unterschied dieser zwei Gleichungen gibt

somit

Weil aber

rdφ = ρdψ

ist, folgt.