Text-Bild-Ansicht Band 316

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also

d.h.

und

Also ist

3)

Je nachdem σ positiv oder negativ ist, bedeutet sie eine Verlängerung bezw. Verkürzung der Strecke AB.

Nennen wir dγ den Winkel, um welchen sich der Querschnitt mit dem Schwerpunkte C um denselben infolge der Belastung dreht, und ds das Bogenelement r . dφ bei C, so kann man

setzen, wenn, wie wir vorausgesetzt haben, die Querschnittsabmessungen sehr klein im Verhältnis zu denen der übrigen Abmessungen des Bogens sind. Es ergibt sich also aus der Gleichung 1:

.

Infolge dieser Drehung legt der Punkt A den Weg AC . dγ senkrecht zu AC zurück. Denselben zerlegen wir in zwei Komponenten, von denen die eine mit AB zusammenfällt und gleich y . dγ ist. Die andere ist senkrecht zu AB und ist gleich (l – x) . dγ. Letztere Komponente kommt nicht in Betracht, weil ja das Auflager A senkrecht zu mn unbeweglich ist. Erstere Komponente y . dγ, welche wir Ar nennen wollen, ist eine Verlängerung der Strecke AB und es entsteht jetzt aus der vorigen Gleichung

.

Da jedoch

y = r (cosφ – cosφ )

ist, so entsteht weiter

E. J.

.

Diese Gleichung für Δτ können wir für alle Querschnitte zwischen A und B bilden und sämtliche Aτ addieren. Bezeichnen wir mit τ die Summe, so ergibt sich

E. J.

Es ist

.

Weiter ist

.

Es ergibt sich jetzt

. 4)

Hier ist τ eine Vergrösserung oder Verkleinerung, je nachdem es positiv oder negativ ist.

Wir können nun σ und τ addieren und setzen wir s die Summe, so ist

5)

Dann bringt noch die Kraft X eine Verlängerung der Stange AB hervor, welche nach dem Hooke'schen Gesetze

ist. Infolge der Temperaturzunahme um t° C. vergrössert sich der Stab um t . ε1 . 2 l = 2 tε1rsinφ und das Bogenelement bei C um εt . r . dφ; wenn εt und ε die Ausdehnungskoeffizienten des Stabes bezw. Bogens sind. Mit dem Bogenelement vergrössert sich der Stab um

εtrcosφdφ,

also der ganze Stab um

.

Wir müssen nunmehr zu s hinzu addieren

.

Die ganze Summe muss nun 0 sein, damit der Punkt A unbeweglich wird. Hieraus folgt, wenn wir noch die Summe vorher durch 2 dividieren:

.

Aus dieser Gleichung lässt sich endlich die Kraft X bestimmen, welche die Unbeweglichkeit des Auflagers A veranlasst. Wir haben zunächst

.