Text-Bild-Ansicht Band 316

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Gleichungen, da in denselben alle Grössen ausser v und d gegeben oder anzunehmen sind, die Werte für v und d berechnen. Indessen führt die Elimination der einen dieser beiden Unbekannten für die andere stets auf eine Gleichung fünften Grades, weil der Reibungskoeffizient

nach Weisbach gesetzt werden muss. Die Lösung der Aufgabe, nach diesen Formeln d und v richtig zu bestimmen, ist demnach nur durch Näherung oder durch versuchsweise Annahme von d möglich, so dass man, wenn man in der Wahl von d nicht Glück oder Geschick hat, ziemlich lange vergeblich rechnen und herumprobieren muss, bis man einen geeigneten Wert für d herausgefunden hat, der die erreichbare Geschwindigkeit möglichst genau gleich der erforderlichen Geschwindigkeit macht.

Obwohl durch die neue Anordnung der Rietschel'schen Tabellen die Rechnung ausserordentlich vereinfacht worden ist, so dürfte dem praktischen Ingenieur eine einfache direkte Auflösung der Gleichungen für die erforderliche und für die erreichbare Geschwindigkeit nicht unwillkommen sein. Dies ist jedoch nur dadurch möglich, dass man die Formel für die erreichbare Geschwindigkeit so umgestaltet, dass die Auflösung der Gleichungen für die erforderliche und die erreichbare Geschwindigkeit nur auf eine Gleichung vierten, dritten oder womöglich nur zweiten Grades führt. Da sämtliche Grössen in den beiden Gleichungen bis auf ρ, den Reibungskoeffizienten, fest bestimmt sind, so kann man das gestellte Problem nur dadurch lösen, dass man die Weisbach'sche Formel

,

welche aus den Beobachtungen abgeleitet ist, und daher umgestaltet werden kann, in eine zur Lösung der obigen Gleichungen geeignete Form bringt. Zu diesem Zweck habe ich die wichtigsten Abhandlungen über den Reibungswiderstand der Flüssigkeiten eingehend geprüft und bin zu dem Ergebnis gelangt, dass man das Produkt des Reibungskoeffizienten und der Quadratwurzel aus der Strömungsgeschwindigkeit v, also ρ√v, auf die Form

ρ√v = α' + β'v

bringen kann. Später fand ich beim Vergleichen der rein wissenschaftlichen Zwecken dienenden Versuche von Prof. O. E. Meyer über die Reibung der Flüssigkeiten mit den Versuchen von Weisbach und Hagen, dass mit ebenso grosser, wenn nicht grösserer Annäherung

ρ√v = ρ' = α + α . v = α(1 + v)

ist, worin nach Weisbach und Meyer α = 0,0131, nach Hagen α = 0,012 ist. Nach dem so definierten Reibungskoeffizienten ρ' ist die Zunahme des Reibungswiderstandes der Geschwindigkeitszunahme direkt proportional. Die Versuche von O. E. Meyer sind in Poggendorff's Annalen, Bd. 113, veröffentlicht worden. Da die Formel

ρ√v = ρ' = α(1 + v)

die einfachere ist, so benutze ich dieselbe zur Lösung der obigen Gleichungen 1) und 2) und erhalte dadurch eine Gleichung dritten Grades für v bezw. d.

Diese Gleichungen lauten:

. . . . 1)

. . . . 2)

Setzt man nun

und nach 1)

in die Gleichung 2) ein, so erhält man

oder

. III)

Ordnet man diese Gleichung nach

, so folgt

Da diese Gleichung mit der reduzierten Form der Gleichung dritten Grades

x3px – q = 0

übereinstimmt, so ist, wenn man der Kürze halber

und

setzt,

oder, da in der Praxis stets

ist, nach der trigonometrischen Lösung des sogen. casus irreducibilis

. . . IV)

worin

und

ist.

Aus den Gleichungen IV) findet man zunächst den Winkel ϕ und dann

und daraus dann den Wert des Rohrdurchmessers
.

Der Gleichung IV) gibt man für

die allgemeinere Form

,

worin k einen der drei Werte 0, 1, 2 hat. Setzt man den Wert von r ein, so folgt

bezw.

.

Man hat, wenn man die vorstehenden Formeln auf die Berechnung von Warmwasserheizungsanlagen anwenden will, zunächst die Werte

und
zu berechnen. Da für jede Heizungsanlage der Temperaturabfall te – ta und damit gleichzeitig auch der Wert a gegeben ist, so kann man die Gleichungen für
und
noch vereinfachen, wenn man für √c seinen Wert
einführt, und die Konstanten 2g, a, te – ta und α einsetzt. Berücksichtigt man dabei, dass

ist, so ergibt sich, wenn man, um meine Theorie an dem von Rietschel in seinem Leitfaden Teil I S. 169 bis 176 berechneten Beispiele zu prüfen, te – ta = 20 und demgemäss a = 0,0117 setzt,

Es sei nach Rietschel (Teil I S. 169)

W1 = W'1 = W''1 = W2 = W'2 = W''2 = W3 = W'3 = W''3

= 4000 W.-E. für einen jeden senkrechten Strang in Fig. 1,

W1 + W2 + W3 = W = W' = W'' = 12000 W.-E.