Text-Bild-Ansicht Band 316

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Wir erhalten daher weiter aus der Gleichung 9:

woraus nach einer kleinen Umformung entsteht:

. . . . . . . 10)

Man kann J zum Angriffspunkt der Kraft Y statt dem Punkte S nehmen, ohne dass ein neues Kräftepaar zum Vorschein kommt. Da die oben gefundene Kraft X in der X°-Achse wirkt, so kann auch J zum Angriffspunkt dieser Kraft genommen werden. Es geht daher die Mittelkraft von X und Y durch den Punkt J und nebenbei ist kein Kräftepaar wirksam. Praktisch lässt sich dies dadurch bewirken, dass man im Punkte J ein Gelenk anbringt, so dass wir es nunmehr mit einem zweifach statisch unbestimmten Bogenträger zu thun haben.

Haben wir es also mit einem Bogenträger zu thun, welcher bei A und B eingespannt ist, und welcher bei J ein Gelenk enthält, so dass für eine durch J gehende Schwerachse und eine dazu senkrecht stehende Achse

ist, so werden durch irgend welche Belastung zwei senkrecht zu einander stehende in diesen Achsen wirkende Kräfte, welche also J zum Angriffspunkt haben, hervorgebracht, welche

bezw.

sind. Die Zähler davon sind abhängig von der äusseren Belastung, die Nenner sind aber unabhängig davon; denn sie bedeuten Trägheitsmomente der Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte des Bogenträgers in Bezug auf die X°- und Y-Achse.

Weiter sehen wir, dass die Kraft Y unabhängig vom Gelenke ist, denn sie ändert den Wert nicht, wenn das Gelenk nicht vorhanden ist1).

II.

Die Kräfte X und Y lassen sich auch folgenderrnassen unabhängig von der bisherigen Untersuchung ganz elementar finden.

Der bei A und B eingespannte Bogenträger, welcher bei J ein Gelenk enthält, sei nur mit P belastet. Löst man das Gelenk bei J, so entstehen zwei Bögen, welche bei A bezw. B eingespannt sind, im übrigen aber ein freies Ende J je haben.

Jeder dieser Bögen ist daher statisch bestimmt. Man bringe aber in J an jeden Bogen die Kräfte X und Y bezw. X1 und Y1 an, welche die Beseitigung des Gelenkes ersetzen, und zu diesem Zwecke gewissen, später zu bestimmenden Bedingungen Folge leisten sollen. Zunächst muss

und dann

sein.

Es sei C1 ein beliebiger Querschnittsschwerpunkt des Bogens, JB sind seine Entfernungen von X1 und Y1 bezw. y1 und x1 so ist das Biegungsmoment dafür:

Hierbei ist M das Moment von P; hat also C1 von P die Entfernung p, so ist M = P . p. Für alle Punkte zwischen J und dem Schnittpunkte der Kraft P mit dem Bogen ist daher M = 0. Bezeichnet man mit E den Elastizitätsmodul, mit J das Trägheitsmoment und mit ds das Bogenelement bei C1 so ist bekanntlich

Darin ist noch dγ der unendlich kleine Winkel, mit welchem sich der Bogenteil JC1 um C1 infolge der Belastung dreht, wenn der Bogen nur bei C1 elastisch ist. Wir haben daher:

Hieraus folgt, wenn man

setzt, wobei Jc ein beliebiges, aber konstantes Trägheitsmoment ist:

. . . 1)

Bezeichnet man die Strecke C1J mit r, so legt dabei der Punkt J den Weg r . dγ zurück, welchen man in Komponenten parallel zu X1 und Y1 zerlege. Diese Komponenten sind bezüglich:

und

Diese Gleichung bilde man für alle Schwerpunkte des Bogens von J bis B und erhält, wenn man sämtliche dσx und sämtliche dσy addiert und

und

setzt:

2)

3)

Auf gleiche Weise findet man die Komponenten des Weges von J, welche dieser Punkt infolge der Elastizität des Bogens AJ zurücklegt. Nennen wir σx' und σy' die Komponenten, so ist:

. . 4)

und

. . 5)

Das negative Integral von vorhin fällt beiderseits fort, weil ja der Bogenteil AJ von keiner gegebenen Belastung beansprucht wird. In den letzten Gleichungen muss man X = X1 und Y = Y1 setzen. Die Kräfte X1 und Y1 haben nun die Bedingung zu erfüllen, dass

und

sind; denn dann ist ein Gelenk bei J möglich.

Wir erhalten deshalb:

und

Hierbei ist, wie vorher:

und

Sind nun die X°- und Y-Achse so gewählt, dass dafür

1)

Hierauf hat schon Müller-Breslau in der Abhandlung: „Elastizitätstheorie der Tonnengewölbe“ in der Zeitschrift für Bauwesen, 1881, aufmerksam gemacht.