Text-Bild-Ansicht Band 316

Bild:
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ist, so ergibt sich:

und

Die Werte sind genau so, wie vorhin, es reichen die Grenzen der Integrale in den Zählern aber nur zwischen J und B, weil der rechte Teil des Bogenträgers allein belastet ist.

Bilden wir auch

und
und setzen dieselben γ' und γ, so erhält man aus der Gleichung 1 dieses Abschnittes:

und

Es ist nun γ + γ' der Winkel, um welchen sich die Bogenteile AJ und BJ bei J infolge der Belastung gegenseitig verändern. Wir nennen y diesen Winkel. Ist die Y-Achse noch eine Schwerachse, so ist:

wobei

ist. Ferner ist:

Also ergibt sich:

. . . . . 6)

Wie wir sehen, ist dieser Winkel unabhängig von der Kraft Y1.

Setzt man die Werte von X1 und Y1 in die Gleichungen 2, 3 und 6 ein, so kann man einerseits den wirklichen Weg durch Zusammensetzung der Komponenten σx und σy, welchen der Punkt J zurücklegt, und andererseits den Winkel γ, um welchen sich das Gelenk bei J infolge der Belastung dreht, ermitteln. Der Winkel y ist dabei mit dem Bogenmasse zu bestimmen. Setzt man die Kräfte X1 und Y1 zusammen, so erhält man den Kämpferdruck Wa für das Auflager A, und die Kräfte X1 und Y1 mit P zusammengesetzt ergeben den Kämpferdruck Wb für das Auflager B. Beide Kämpferdrucke gehen im allgemeinen nicht durch A bezw. B. Gingen sie aber durch A und B hindurch, so genügten anstatt der Einspannung in diesen Punkten einfache Gelenke und wir hätten es dann mit einem statisch bestimmten Systeme zu thun.

III.

Obige Untersuchung geschah unter der Vernachlässigung der Längenveränderungen, welche von den Kräften senkrecht zu den Bogenquerschnitten hervorgebracht werden; da sie einen geringen Einfluss für die Grössen von X1 und Y1 haben, so ist die Vernachlässigung gerechtfertigt. Es soll für eine Anwendung vorausgesetzt sein, dass überall sowohl E als auch J = Jc konstant sein sollen. Es ergibt sich dann:

Ferner soll der Bogen überall sehr schwach gekrümmt sein, so dass man unbedenklich ds = dx setzen kann, und dann

ist. Wir haben hierdurch:

und

Weiter ist:

und

Setzt man in Fig. 2 die Strecke

, also
, so ist:

Die Momentenfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck GBH mit den Seiten a und Pa, wenn a der Abstand des Punktes B von P ist. Wie wir sehen, ist

nichts anderes, als das statische Moment des Dreiecks GBH in Bezug auf die Y-Achse als Momentenachse. Dieses Integral ist demnach gleich:

Es entsteht daher:

. . . . I)

Unter der Bedingung also, dass man ds = dx setzen darf, ist diese Kraft unabhängig von der Form des symmetrischen Bogens.

Textabbildung Bd. 316, S. 727

Wir gehen jetzt zur Bestimmung von X1 über und setzen dabei voraus, dass die Form des Bogens ein schwach gekrümmter Kreisbogen von der Höhe h und dem Radius r ist.

Es ist zunächst

und dann:

Wir dürfen in den Klammern h und y' gegen 2 r vernachlässigen und erhalten

und
Deshalb ist:

Es ergibt sich nunmehr:

Dann ist: