Text-Bild-Ansicht Band 326

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eingestellt, dessen Symmetrieebene sich mit der Stromrichtung decke (Fig. 1). Dann beobachtet man folgendes: der Strom teilt sich am Scheitel des Zylinders symmetrisch, fließt eine Strecke nach Art der für den Zylinder zu erwartenden Potentialströmung an der Wand entlang, ohne sich jedoch im hinteren Scheitel wieder zu vereinigen, sondern schon vorher löst er sich von der Zylinderwand ab und gibt so Anlaß zu einem toten Raume. In diesem toten Raume ist eine schwache Bewegung vorhanden. Er wird von zwei Wirbeln ausgefüllt, die in entgegengesetzter Richtung symmetrisch zur Mittelebene des Zylinders rotieren. Während die Flüssigkeit an der Wand selbst haftet, hat sie schon in nächster Nähe der Wand normale Geschwindigkeit (von der Größenordnung der Geschwindigkeit der für den betr. Zylinder zu erwartenden Potentialbewegung). Der Uebergang von der Geschwindigkeit Null zu normalen Werten vollzieht sich also in einer sehr dünnen Schicht, die wir künftig kurz als Grenzschicht bezeichnen werden. Eben auf diese Grenzschicht bezieht sich die von Prandtl abgeleitete Differentialgleichung.

Außerhalb der Grenzschicht ist der Geschwindigkeitsgradient so gering, daß der Einfluß der Reibung praktisch verschwindet; die Strömung erfolgt dort nach Art einer Potentialbewegung.

Man kann die beschriebenen Vorgänge einigermaßen bereits in der Aufsicht beobachten, besser noch, wenn man den Wasserspiegel mit einem feinen Pulver bestreut, oder in der Durchsicht, indem man das Wasser mit Spänen aus geeignetem Material mischt, Zum Teil auch, indem man aus einer Bohrung der Zylinderwand einen Farbfaden – Kaliumpermanganat in konzentrierter Lösung in Wasser – mit geringem Ueberdruck austreten läßt.4)

Textabbildung Bd. 326, S. 322

Bei der mathematischen Behandlung des Stromverlaufs in der Grenzschicht gehen wir aus von dem System 1, führen aber ein dem zu behandelnden Problem angepaßtes krummliniges Koordinatensystem ein. Als Koordinaten eines Punktes P (Fig. 2) wählen wir einmal den normalen Abstand η von der Zylinderwand, als Abszisse die Bogenlänge ξ, vom Scheitel bis zum Fußpunkt des von P auf die Zylinderwand gefällten Lotes gerechnet. Die Geschwindigkeiten in Richtung von ξ und η seien mit u und v, der zu einem Punkte ξ 60 der Zylinderwand gehörige Krümmungsradius mit R (ξ) bezeichnet. Die Beobachtung, daß die Grenzschicht sehr dünn ist, präzisieren wir weiter durch die Annahme, daß ihre Dicke klein sei von der ersten Ordnung (= ε). Wenn wir dann in den auf unsere krummlinigen Koordinaten transformierten Differentialgleichungen nur die Glieder von normaler Größenordnung (= 1) beibehalten, dürfen wir zunächst überall R + η = R setzen und erhalten mit dieser Vernachlässigung:

. . . . . . . . . 2a)

. . . . . . 2b)

. . . . . . . 2c)

Aus unserer Annahme über die Dicke der Grenzschicht können wir weiter Schlusse ziehen über die Größenordnung der Geschwindigkeitskomponenten und ihrer Ableitungen, u hat innerhalb der Grenzschicht im allgemeinen normale Werte; dasselbe gilt also auch für

und
und
sind von der Ordnung
und
; das folgt daraus, daß die Geschwindigkeit u auf der Strecke η = 0 bis η = ε vom Werte Null zu normaler Größe ansteigen soll, v kann von nicht größerer Ordnung als ε sein; andernfalls würde sich ein Teilchen beim Entlangfließen an der Zylinderwand von ihr um eine Strecke η von normaler Größenordnung entfernen. Damit vereinfacht sich Gleichung 2 c zu
. Durch Integration über die Dicke der Grenzschicht folgt, daß v von der Ordnung e ist, und das gleiche gilt für die Ableitungen
und
. Die Größenordnung der übrigen in der Differentialgleichung auftretenden Differentialquotienten läßt sich auf ähnliche Art leicht abschätzen. Das Endresultat dieser Abschätzung ist in Gleichung 2 so angegeben, daß unter jedem Gliede die Größenordnung mit kleiner Schrift bemerkt ist. Sie fehlt nur dort, wo über die Größenordnung noch nichts bekannt ist, nämlich bei k,
und
. Die konvektiven Glieder höchster Ordnung sind von normaler Größenordnung. Soll die Reibung mitbestimmend werden für den Verlauf der Strömungserscheinungen, so muß das Reibungsglied von der gleichen Größenordnung sein. Dies ist erreicht, wenn k von der Ordnung ε2 ist.

Machen wir diese Annahme und streichen in Gleichung 2 alle Glieder, die von kleinerer Ordnung als 1 sind, so bleibt stehen

. . . . . . . 3a)

. . . . . . . 3b)

. . . . . . . 3c)

Umgekehrt kann man auch sagen: Wenn die Reibung sehr klein ist gegenüber den bei einem Strömungsproblem auftretenden Abmessungen, der Dichte und den Geschwindigkeiten der Flüssigkeit – die Größenordnung der Reibung werde mit ε2 bezeichnet – dann wird die Dicke der Grenzschicht klein werden von der Ordnung e. So war z.B. in dem hier behandelten Falle der Reibungskoeffizient des Wassers zu 0,01 gr-cm-Sek. angenommen worden, die Dicke der Grenzschicht ergab sich zu etwa 0,1 cm.

Durch Integration über die Dicke der Grenzschicht

4)

Vergl. die S. 321 erwähnte Arbeit von Prandtl; weiter: Ahlhorn: Ueber den Mechanismus des hydrodynamischen Widerstands. Abhandlungen aus dem Gebiet der Naturwissenschaften, herausgegeben vom Naturwissenschaft. Verein in Hamburg 17 (1902); Hydrodyn. Exp. Untersuchungen. Jahrb. der Schiffbautechnischen Gesellschaft 5 (1904) S, 417.