Text-Bild-Ansicht Band 326

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ergibt sich aus 3 b, daß p sich in Richtung der Ordinaten innerhalb der Grenzschicht nur um Beträge von der Ordnung e ändert. Also ist p und damit

innerhalb der hier überall festgehaltenen Genauigkeit allein abhängig von ξ. Der Druck wird der Grenzschicht von der äußeren Strömung aufgeprägt. Wir bringen diesen Umstand zum Ausdruck, indem wir für
schreiben
. Gleichzeitig sieht man, daß
von der Ordnung 1 ist, weil der Druck in dem Gebiete der äußeren Strömung normale Werte hat. Gleichung 3b, die nur zur Bestimmung von
dient, kann fortbleiben; damit werden die Differentialgleichungen der Grenzschicht

. . . . . . . . 4a)

. . . . . . . . 4b)

Wir fassen schließlich 4a und 4b zusammen. 4b wird befriedigt durch Einführung einer Stromfunktion Ψ;

,
. Diese Werte in 4 a eingesetzt ergeben:

. . . . . . 5)

Es ist interessant zu bemerken, daß die Krümmung der Koordinaten ohne Einfluß auf die Vorgänge in der Grenzschicht bleibt. Man hat für die Grenzschicht entlang einer festen geraden Wand dieselbe Differentialgleichung 5. Es besteht allerdings der Unterschied, daß im Falle krummliniger Koordinaten die Fehler von der Ordnung e sind, während sie im Falle der geraden Wand nur die Ordnung ε2 erreichen.

Als Grenzbedingungen der Differentialgleichung 5 hat man in unserem Falle die folgenden: 1. Die Koordinatenachse ε = 0 ist Symmetrielinie der Strömung. 2 Entlang der Zylinderwand verschwindet Ψ,

und
. 3. Die Geschwindigkeit in der Grenzschicht muß nach außen hin in die Geschwindigkeit der äußeren Strömung übergehen, oder, weil v vernachlässigt werden darf,
muß in u übergehen, wo
die Geschwindigkeit parallel zur Zylinderwand am Rande der Grenzschicht bedeutet. Ueber die Art, wie der Uebergang von u zu
erfolgt, läßt sich dieses sagen: u ändert sich in Richtung wachsender η auf Strecken von der Größenordnung der Dicke der Grenzschicht nur um Beträge von der Größenordnung s, darf also im Sinne unserer Abschätzung als konstant in der η-Richtung angesehen werden. Diesem konstanten Werte von
muß sich u asymptotisch nähern. Kennt man vom Experiment her das Druckgefälle in der Grenzschicht, so findet man a aus der Druckgleichung
, auf die sich 5 für den Rand der Grenzschicht reduziert, oder durch Integration
konst. Die Konstante hat auf der Strecke bis zur Ablösungsstelle den
.

An welcher Stelle der Wand Ablösung eintritt, ergibt die Integration der Differentialgleichung 5. Nur so viel ist von vornherein aus physikalischen Gründen klar, daß Ablösung und Rückströmung nicht in dem am Scheitel beginnenden Gebiete fallenden Druckes eintreten kann, weil in diesem Gebiete ein Teilchen beim Durchlaufen der Grenzschicht durch das Druckgefälle

beschleunigt wird; die Reibung vermag diese Bewegung zu verzögern, nicht aber umzukehren. Erst nachdem Drucksteigerung eingesetzt hat, ist Ablösung möglich.

Textabbildung Bd. 326, S. 323

In Fig. 3 sind die Stromlinien und Profile der u-Komponente der Geschwindigkeit für die Grenzschicht eingezeichnet. Als Bedingung für die Ablösung ergibt sich aus der Figur

Im Zusammenhange sei hier eine Bemerkung über den Gültigkeitsbereich der Differentialgleichung 5 angefügt. Aus den vorangehenden Ueberlegungen ist zu schließen, daß die Differentialgleichung 5 in Verbindung mit der Gleichung

gilt, solange die Grenz Schicht glatt an der festen Wand anliegt, also bis zur Ablösungsstelle, und darüber hinaus höchstens so weit, als sich die abgelöste Grenzschicht nicht über einen Betrag von der Größenordnung e von der Wand entfernt hat.

2. Aehnlichkeitsbetrachtungen.

Aus der Differentialgleichung 5 selbst lassen sich ohne Kenntnis eines Integrals eine Reihe wichtiger Schlusse ziehen mit Hilfe des Prinzips der mechanischen Aehnlichkeit.5) Multipliziert man in 5 Ψ ξ, η, ρ, k mit Faktoren Ψ, ξ, η, ρ, k so erhält man folgende Aehnlichkeitsbedingungen

oder auch

Wir ziehen zunächst einen Schluß über die Dicke der Grenzschicht: es wird

. Also ist die Dicke
.

Für die weiteren Ueberlegungen ist daran zu erinnern, daß wir die gesamte Strömung um den festen Körper zerlegt haben in die Strömung in der Grenzschicht einerseits und andererseits in eine Potentialströmung um einen gedachten, aus dem eingestellten Zylinder, der Grenzschicht und dem toten Raum gebildeten Körper. Abänderung der äußeren Strömungsverhältnisse ändert zwar die Dicke der Grenzschicht. Da aber diese Aenderung nur von der Ordnung ε sind, bleiben sie praktisch ohne Einfluß auf den Verlauf der äußeren Strömung. Nehmen wir dazu noch das Ergebnis daß, das Druckgefälle der Grenzschicht von der äußeren Strömung aufgeprägt wird, so vermögen wir die Abänderung der Verhältnisse in der Grenzschicht bei geänderten Bedingungen der Außenströmung völlig zu übersehen. Steigert man z.B. die Geschwindigkeit außen auf das u fache, so wachsen die Geschwindigkeiten in der Grenzschicht im gleichen Maße, der Druck auf das u2 fache. Aendern sich Reibung und Dichte, so wird die Form der Druckverteilungskurve dadurch nicht geändert,

5)

Vergl. Föpph Vorlesungen über technische Mechanik. IV. Dynamik. 2. Aufl. Leipzig 1901. S. 349 ff.