Text-Bild-Ansicht Band 179

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Dr. Toepler in Riga für die Ausziehung von Quadratwurzeln mittelst des Arithermometers ersonnen hat und welches vermöge seiner Einfachheit als eine glückliche Bereicherung der theoretischen Hülfsmittel des Maschinen-Rechnens willkommen zu heißen ist.

Theorie des Verfahrens. – Das Toepler'sche Verfahren ist begründet auf bekannte Eigenschaften der arithmetischen Reihen. Für die arithmetische Reihe von n Gliedern mit dem Anfangsgliede a und der Differenz d ist die Summe s:

Textabbildung Bd. 179, S. 261

und das letzte Glied u:

u = a + (n – 1) d (2).

Setzt man in einer solchen Reihe a = 1, d = 2, so ist s die Summe der n ersten ungeraden Zahlen (1 + 3 + 5 + 7 +... d) und es wird nach Formel (1)

s = (1 + n – 1) n = n²,

d.h. die Summe der n ersten ungeraden Zahlen ist = n²; dabei wird nach Formel (2) das letzte Glied

u = 2 n – 1

oder

u + 1 = 2 n,

d.h. das letzte Glied der Reihe der n ersten ungeraden Zahlen vermehrt um die Einheit gibt die doppelte Gliederzahl an. Nach diesen beiden Sätzen können für das. Quadrat eines Binoms n + m die drei Glieder n², 2 nm, m² auf der Rechenmaschine leicht als Reihensummen gebildet und durch gliedweises Abziehen von einem Radicanden N im Quotientenzählwerk der Maschine gefunden werden. Man theilt zu diesem Ende wie bei dem gewöhnlichen Wurzelausziehen den Radicanden vom Komma an zu je 2 Stellen ab, und bildet, zur Linken beginnend, durch Einstellen von 1, 1 + 2 = 3, 3 + 2 = 5, 5 + 2 = 7 u.s.w. und jedesmaliges Abziehen der einzelnen Glieder gliedweise zuerst n², wobei im Quotienten n erscheint, sobald die Summe s = (1 + 3 + 5 + 7 +... u) die betreffenden Radicandenstellen erschöpft hat. Darauf addirt man zu dem noch dastehenden letzten Gliede u die Einheit, so daß u in u + 1 = 2 n übergeht, verlegt diese Zahl als Subtrahenten unter die nächste Stelle zur Rechten und bringt unter die zweite Stelle zur Rechten wieder die 1 (vorausgesetzt, daß u + 1 = 2 n von den darüber stehenden Stellen abziehbar ist) als erstes Glied der arithmetischen Reihe 1 + 3 + 5 +..., welche m² zur Summe