Text-Bild-Ansicht Band 316

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DINGLERS
POLYTECHNISCHES JOURNAL

82. Jahrg., Bd. 316, Heft 25. Stuttgart, 22. Juni 1901.

Textabbildung Bd. 316, Hefttitelillustration

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Untersuchung eines von gleichen und entgegengesetzt gerichteten Kräften beanspruchten dünnen Kreisringes.

Von Prof. G. Ramisch, Breslau.

I.

Textabbildung Bd. 316, S. 389

In Fig. 1 ist AB ein Viertel eines dünnen Kreisringes, welcher bei A eingeklemmt und bei B von einer gegebenen Kraft P und von einem Kräftepaare von einem noch unbestimmten Momente M beansprucht wird. Unter AB soll zugleich die Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte, d.h. die elastische Linie verstanden werden. Man nehme B zum Anfangspunkt eines Koordinatenkreuzes an, dessen X-Achse die elastische Linie in B berühren und dessen andere mit Y benannte Achse dazu senkrecht stehen soll; x und y sollen die Koordinaten irgend eines Punktes C der elastischen Linie sein. Infolge der Kraft P und des Kräftepaares wird sich der Querschnitt von C drehen, und zwar soll es mit dem unendlich kleinen Winkel dγ geschehen. Wir nennen weiter F den Inhalt dieses Querschnitts, J sein Trägheitsmoment in Bezug auf die Drehachse, ds das Bogenelement der elastischen Linie und E den Elastizitätsmodul des Kreisringes. Das Biegungsmoment für den Punkt C ist nun:

M = Py – M.

Dann ist jedoch auch:

so dass sich aus diesen beiden Gleichungen ergibt:

(Py – M) . ds = E . J . dy . . . . . . . . . . 1)

Eine Längen Veränderung von ds wird noch von einer Komponente von P hervorgebracht, welche in Richtung der Tangente an der elastischen Linie in C wirkt. Bezeichnet man mit α den Winkel, welchen diese Tangente mit der X-Achse bildet, so ist die Komponente P . cos α. Wir wollen jedoch diese Längenänderung, weil sie einen ganz unbedeutenden Beitrag liefert, vernachlässigen, wie es auch von Prof. Müller-Breslau auf der S. 151 in: „Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen“ geschieht.

Wir stellen nun die Bedingung, dass nach erfolgter Durchbiegung des Viertelkreisringes die Tangente an der elastischen Linie in B ihre Richtung nicht ändern darf. Es muss

sein, wodurch sich ergibt:

woraus sich das Moment M bestimmen lässt. Man erhält nämlich:

Der Schwerpunkt S der elastischen Linie möge von der X-Achse die Entfernung e1 haben; bezeichnet man mit s die Länge der elastischen Linie, so erhält man zunächst:

und

und dann:

M = P . e1 . . . . . . . . . . 2)

Nunmehr ist das Biegungsmoment für den Punkt C gleich P . y – P . e1. Man lege durch S zur X-Achse die Parallele T und nenne η den Abstand des Punktes C von derselben, so ist η = e1 – y, so dass sich jetzt ergibt:

M = – P . η . . . . . . . . . . 3)

als Biegungsmoment des Punktes C.

Dasselbe ist über der T-Achse negativ und unter der T-Achse positiv; dort, wo die T-Achse die elastische Linie schneidet, ist das Moment gleich Null. In diesem Punkte wird also die gebogene elastische Linie ihre ursprüngliche Gestalt behalten, weil ja an der Stelle keine Biegung erfolgen kann.

Indem sich der Querschnitt um C dreht, beschreibt der Punkt B um denselben einen unendlich kleinen Kreisbogen, welcher gleich:

ist. Wir zerlegen denselben in zwei Komponenten, welche sich in der X- und in der Y-Achse befinden sollen. Diese Komponenten sollen bezw. du und dv sein. Es ergibt sich dann leicht, dass du = y . dγ und dv = x . dγ ist. Berücksichtigt man hierbei den Wert für dy aus der Gleichung 1, so ergibt sich weiter:

und:

So können wir du und dv für alle Punkte zwischen B und A bilden, und setzen wir

und
, so entsteht: