Text-Bild-Ansicht Band 316

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DINGLERS
POLYTECHNISCHES JOURNAL

82. Jahrg., Bd. 316, Heft 26. Stuttgart, 29. Juni 1901.

Textabbildung Bd. 316, Hefttitelillustration

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Zur Theorie der Festigkeit krummer Träger.

Von Emil Herrmann, Oberbergrat in Schemnitz (Ungarn).

Bezüglich dieser Theorie sind die Meinungen der Ingenieure bekanntlich geteilt. Während die eine Partei die von weiland Prof. Grashof aufgestellten und von Prof. C. Bach in dem Werke Elastizität und Festigkeit ebenfalls aufgenommenen Spannungs- und Biegungsformeln als richtig ansieht, bezweifelt die andere Partei deren Richtigkeit (vgl. die Zuschriften an die Zeitschrift des deutschen Ingenieurvereins, Jahrg. 1899 S. 261, 403, 501 und 633), weil man bei der Lösung von gewissen Aufgaben auf Widersprüche stösst, welche in der beschränkten Gültigkeit des sogen. Proportionalitätsgesetzes ihre Erklärung nicht finden1).

Die nachstehende Aufgabe ist eine solche, bei welcher man zu dem erwähnten Widerspruch kommt.

Ein krummer Träger mit rechteckigem Querschnitte besteht aus zwei kreiscylindrischen Stücken.

Der eine Teil AB (Fig. 1) hat einen Kreisbogen als Mittellinie, dessen Radius 16 h = r.

Der zweite Teil BC ist ein Kreisbogen vom Radius r1 = 4h.

Auf jede der Endflächen wirkt das Kräftepaar M jedoch im entgegengesetzten Sinne, so dass der Träger im äusseren Gleichgewichte ist. Es fragt sich, wie gross die Spannung im Punkte a des Querschnittes B ist?

Da der Querschnitt B beiden Teilen angehört, kann man vom einen oder anderen Ende ausgehen.

Natürlich kann in einem Punkte nur einerlei Spannung auftreten, es müssten daher die beiden Rechnungsresultate identisch sein.

Die Formel für die Spannung findet sich in Prof. C. Bach's obgenanntem Werke I. Aufl. S. 303 Gl. 210.

. . . . . . . . . . 1)

Textabbildung Bd. 316, S. 405

Hierin bedeutet P die Normalkraft (S. 299), M das Moment positiv, wenn es eine Vermehrung der Krümmung herbeiführt, f die Fläche des Querschnittes, η den Abstand desjenigen Punktes von der Cylinderfläche der Mittellinie, in welchem die Spannung g auftritt und r der Krümmungsradius der Schwerpunktsfaser. Nach Gleichung 207 (S. 302) ist

η ist positiv, wenn es auf der von der Krümmungsachse abgewendeten Seite liegt.

Für den rechteckigen Querschnitt mit den gewählten Dimensionen ist laut Gleichung 213 (S. 306)

1)

Anmerkung der Redaktion: Es handelt sich in Wirklichkeit nicht um einen persönlichen Meinungsaustausch, sondern um die praktisch wichtige Frage: Ist ein gekrümmter stabförmiger Körper in Hinsicht auf die Beanspruchung durch ein biegendes Moment und durch eine Normalkraft so zu behandeln, als ob seine Querschnitte einem geraden Stabe angehören? Nach den Ergebnissen der in dieser Richtung angestellten Versuche (vgl. C. Bach, Elastizität und Festigkeit, 3. Aufl. 1898 S. 470 u. f., Bantlin, Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1899 S. 261 u. f. u.s.w.) kann es keinem Zweifel unterliegen, dass dieser Weg der Spannungsermittelung zu einer – unter Umständen sehr bedeutenden – Unterschätzung der Beanspruchung des gekrümmten Stabes führt. Die einfache Ueberlegung, welche von dem Unterschiede zwischen der geraden und gekrümmten Stabform ausgeht, liefert das gleiche Ergebnis.

Dass die Gleichung

für diejenigen Querschnitte, wo die Form eine Stetigkeitsunterbrechung durch eine plötzliche Aenderung des Krümmungshalbmessers r erfährt, eben infolge dieser Stetigkeitsunterbrechung keine zutreffenden Ergebnisse liefert, ist von C. Bach schon hervorgehoben sowie bemerkt worden, dass hier ein allmählicher Ausgleich stattfinde (Elastizität und Festigkeit, 3. Aufl. S. 373 und 374, S. 484 und 485).

Dass die bezeichnete Gleichung im Falle der Fig. 2 des vorliegenden Aufsatzes zu einer unendlich grossen Spannung an der Innenkante führt, hat ersichtlich darin seinen Grund, dass hier ein Körper zu Grunde gelegt ist, welcher an der inneren Seite eine scharfe Ecke, also den Krümmungshalbmesser Null besitzt, während die Entwickelung der Gleichung nach Lage der Sache solche Körper voraussetzt, welche auch an der inneren Seite noch ausreichend Krümmung aufweisen.

Es handelt sich, wie bereits bemerkt, im vorliegenden Fall nicht um absolut richtige mathematische Gleichungen, sondern um Gleichungen, welche den Bedürfnissen der Technik dienen sollen. Das gilt ebenso für den Stab mit gerader Achse wie für denjenigen mit gekrümmter Achse. Die vorstehenden Bemerkungen werden bei Beurteilung der Darlegungen des Herrn Verfassers im Auge zu behalten sein, insbesonders auch gegenüber dem Satze am Schlusse des Aufsatzes.