Text-Bild-Ansicht Band 316

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DINGLERS
POLYTECHNISCHES JOURNAL

82. Jahrg., Bd. 316, Heft 29. Stuttgart, 20. Juli 1901.

Textabbildung Bd. 316, Hefttitelillustration

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Kinematische Untersuchung der Elastizität von Federn.

Von Prof. G. Ramisch, Breslau.

I.

In den Punkten A1 und A2 zweier um den Punkt G drehbaren ganz gleichen Backen ist eine sehr dünne Feder, die von einer durch G gehenden Achse GH in zwei symmetrische Hälften zerlegt wird, befestigt. Die Backen sind von zwei gleichen, aber entgegengesetzt gerichteten Kräften, von denen jede P heisst und von G die Entfernung p hat, beansprucht.

Unter der Voraussetzung, dass die Formänderung der Backen, verglichen mit der der Feder, vernachlässigt wird, soll die Elastizität der letzteren untersucht werden.

Wie man aus der Abbildung erkennt, ist der Punkt B der Feder, welcher auf der Symmetrieachse GH liegt, gezwungen, sich auf letzterer, also auf einer geraden Linie zu bewegen. Hierdurch lässt sich die Aufgabe auf folgende zurückführen:

Mit einem um B drehbaren Backen, welcher von P beansprucht wird, ist in A1 eine Feder befestigt, deren Punkt B gezwungen ist, sich auf der Geraden HG zu bewegen. Es ist die Elastizität der Federhälfte A1B zu untersuchen.

Textabbildung Bd. 316, S. 453

Dazu wollen wir noch die Forderung stellen, welche für die ganze Feder notwendig ist, dass, nachdem die Feder ihre Formänderung ausgeführt hat, auch in der Endlage, sowie in der Anfangslage GH Normale im Punkte B der Federkurve bleibt. Letzteres wird durch ein Kräftepaar veranlasst, welches im Punkte B des Federquerschnitts, den wir übrigens als überall konstant annehmen wollen, angreift. Das Moment dieses Kräftepaares ist zugleich das Biegungsmoment der Feder im Punkte B und soll mit M benannt und zunächst ermittelt werden.

Die Feder sei nur im Punkte C elastisch, so dass sie sonst aus zwei starren Teilen besteht. Es ist dann C gezwungen, um G sich zu drehen, während zugleich B auf GH sich bewegt. Es dreht sich daher der Federteil B C momentan um den Schnittpunkt

von GC mit der Senkrechten BD im Punkte B auf GH. Der unendlich kleine Drehungswinkel um
soll mit dτ bezeichnet werden. Gleichzeitig dreht sich die Backe um G mit dem unendlichkleinen Winkel dα und die Federteile A1C und CB verändern ihre Lage im Punkte C um den unendlich kleinen Winkel dγ. Es finden nun folgende Beziehungen statt:

und

Man bezeichne die Abstände der Punkte C und G von BD bezw. mit y und b, so ist:

Wir erhalten daher aus den vorigen Gleichungen:

(b + y) . dγ = b . dτ . . . . . 1)

und

y . dγ = b . dα . . . . . . 2)

Wie man sieht, bewirkt P die Bewegung des Federstückes CB um

im Sinne des Zeigers einer Uhr und leistet dabei die Arbeit: P . p . dα. Das Kräftepaar M dagegen bringt die entgegengesetzte Drehung dieses Federstückes um
hervor und wirkt daran direkt; es verrichtet daher gleichzeitig die Arbeit: M . dτ. Diese Arbeiten erzeugen die Arbeit des Biegungsmomentes in C; nennen wir es M, so ist die davon geleistete Arbeit: M. dγ. Es muss nun sein:

M . dγ – Pp . dα – M . dτ

und mit Rücksicht auf die beiden vorhergehenden Gleichungen entsteht hieraus:

. . . . 3)

Wir nennen E den Elastizitätsmodul der Feder, J das Trägheitsmoment jedes Federquerschnitts in Bezug auf die Schwerachse, um welche die Drehung bei der Biegung geschieht, und ds das Bogenelement der Feder; es ist dann erlaubt, da ja die Feder als sehr dünn angenommen worden ist:

. . . . . . 4)

zu setzen, so dass wir aus den beiden letzten Gleichungen erhalten:

oder auch:

. 5)

So können wir E . J . dγ für alle Querschnitte von B bis A1 bilden und addieren. Es entsteht dann weiter:

Man bilde den Abstand e des Schwerpunktes der Federkurve A1B von BD, und wenn s die Länge dieser Feder kurve, so ist: