Text-Bild-Ansicht Band 316

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DINGLERS
POLYTECHNISCHES JOURNAL

82. Jahrg., Bd. 316, Heft 38. Stuttgart, 21. September 1901.

Textabbildung Bd. 316, Hefttitelillustration

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Kinematische Untersuchung eines kreisförmigen Bogenträgers mit Kämpfergelenken, letztere verbunden durch eine Stange.

Von Prof. G. Ramisch, Breslau.

Der kreisförmige Bogenträger möge in B ein festes und in A ein parallel zu mn bewegliches Auflager haben. Er sei ferner an allen Stellen von derselben Stärke und von demselben Stoffe, d.h. für alle Querschnitte desselben sind das Trägheitsmoment J und der Elastizitätsmodul E konstant. Die kreisförmige Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte habe r zum Halbmesser und 2 φ zum Mittelpunktswinkel. Die Gerade MO teilt dieselbe in zwei symmetrische Hälften, so dass sie zu der Stange AB, vom Querschnitte F1 und dem Elastizitätsmodul E1 senkrecht steht. Dann soll noch mn zur Geraden AB parallel sein. Indem der Bogen mit q für die Längeneinheit gleichförmig belastet ist, so ist die Gesamtlast, wenn wir AB = 2 l setzen, gleich 2 l . q. Also sind die beiden Auflagerdrücke in A und B einander gleich und parallel aber entgegengesetzt gerichtet zu 2 l . q; nennen wir sie bezw. A und B, so haben wir die Gleichung:

Textabbildung Bd. 316, S. 597

A = B = q . l.

In A sei noch parallel zu mn eine Kraft X angebracht, vorläufig sei sie unbestimmt, so dass wir erst später über dieselbe verfügen wollen.

C sei ein beliebiger Querschnittsschwerpunkt des Bogens und seine Abstände von MO und AB seien bezw. x und y.

Das Biegungsmoment für den Punkt C ist nun

.

Setzen wir es Mc und A = q . l, so entsteht

.

Bildet CM mit OM den Winkel φ, so ist

l = r . sinφ und x = r . sinφ

und endlich ist

y = rcosφ – rcosφ = r (cosφ – cosφ).

Wir erhalten daher

1)

Die Querkraft in C bezeichnen wir mit Q, so ist

Q = A – q (l – x) = q . x = qr . sinφ.

Dieselbe zerlegen wir in Seitenkräfte parallel zur Tangente im Punkte C des Bogens und normal dazu. Erstere ist Q . sinφ und letztere ist Q . cosφ. Erstere ist die Längskraft für den Querschnitt in C und bringt eine Längenveränderung des Bogenelementes in C hervor. Nennen wir sie L, so folgt aus den beiden letzten Gleichungen

L = qr . sin2φ . . . . . . 2)

Die von Q . cosφ hervorgebrachte Veränderung der Fasern des Querschnittes in C ist so gering, dass wir sie vernachlässigen wollen, indem wir den Querschnitt als sehr klein im Verhältnis zu den anderen Ausmessungen des Bogens voraussetzen wollen.

Bezeichnen wir noch mit F den überall konstanten Querschnitt des Bogens; so ist, weil r . dφ das Element der Schwerpunktfaser ist, die in C von L hervorgebrachte Längenveränderung desselben nach dem Hooke'schen Gesetze gleich

.

Ferner bringt noch X eine Längen Veränderung dieses Elementes hervor und dieselbe ist nach dem Hooke'schen Gesetze

.

Erstere ist eine Verkleinerung und letztere eine Vergrösserung dieses Elementes. Beide zusammen bringen demnach die Verlängerung

hervor. Hierdurch wird erzeugt eine Vergrösserung der Entfernung der Punkte A und B und zwar ist dieselbe gleich λ . cosφ. Bezeichnen wir sie mit Δl, so erhält man

.

So können wir Δl für alle Querschnitte zwischen A und B bilden und sie sämtlich zusammenzählen. Nennen wir die Summen σ, so entsteht

Nun ist

;