Text-Bild-Ansicht Band 316

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DINGLERS
POLYTECHNISCHES JOURNAL

82. Jahrg., Bd. 316, Heft 41. Stuttgart, 12. Oktober 1901.

Textabbildung Bd. 316, Hefttitelillustration

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Kinematische Untersuchung einer zwischen zwei miteinander gelenkartig befestigten Backen befindlichen dünnen Blattfeder.

Von Prof. G. Ramisch, Breslau.

Die beiden Backen AB und AD in der Abbildung sollen bei A miteinander drehbar verbunden und in den Punkten B bezw. D mit einer dünnen Blattfeder gelenkartig befestigt sein. Die Backe AD soll festliegen und die Backe AB von einer Kraft P beansprucht werden. In A und D werden Auflagerdrücke entstehen. Um sie zu bestimmen, ziehe man DB bis zum Schnittpunkte K mit P und dann noch die Gerade KA. Zwischen KD und KA ziehe man weiter eine Parallele zu P, so dass die Strecke

darauf gleich P ist. Es sind dann mK und Kn der Grösse, Lage und Richtung nach die Auflagerdrücke in A bezw. D.

Indem wir die Formänderung der Backen vernachlässigen, welche verglichen mit der der Feder sehr klein ist, stellen wir uns die Aufgabe, zunächst den Winkel zu ermitteln, um welchen sich die Backe AB dreht, wenn infolge von P die Feder ihre Form verändert.

Textabbildung Bd. 316, S. 645

Die Feder sei nur in C elastisch, so dass die Federteile BC und CD als starr aufzufassen sind, so haben wir es mit einer zwangläufigen viergliederigen Cylinderkette zu thun, wobei AD das festliegende Glied ist, AB und DC sind die um A bezw. D drehbaren Glieder und das vierte Glied ist BC, welches, wenn auch nur augenblicklich, um den Schnittpunkt F von AB und der Geraden CD drehbar ist. Wir bezeichnen die gleichzeitig stattfindenden Drehungswinkel um A und D bezw. mit und und den unendlich kleinen, auch gleichzeitig stattfindenden Winkel, um welchen sich BC und CD gegenseitig drehen, mit . Bildet man den Schnittpunkt H von AC und BD, so findet zwischen und folgende Beziehung statt:

AH . = HC . . . . . . 1)

Ferner sei die für die spätere Untersuchung nötige Beziehung zwischen und hier gleich erwähnt. Sie lautet:

FD . = CF . . . . . . 2)

Nennen wir M das Biegungsmoment im Punkte C, so kann man es, weil ja die Feder sehr dünn sein soll, gleich

setzen. Hierin bedeuten: E den Elastizitätsmodul der Feder, J das Trägheitsmoment des Querschnitts bei C in Bezug auf die Drehachse dieses Querschnitts und ds das Bogenelement der Feder. Hierdurch entsteht die Gleichung:

. . . . . . . 3)

Wir nennen p den Abstand des Punktes A von Pund es werden von P und M gleichzeitig die unendlich kleinen Arbeiten: Pp . und M . geleistet. Es muss deswegen sein:

Pp . = M . .

Mit Rücksicht auf die Gleichung 1 ergibt sich hieraus:

Zu dieser Gleichung gelangt man auch, wie folgt: Nennt man u den Abstand des Punktes A von BD und X die Seitenkraft von P, welche in BD wirkt, so ist

P . p = X . u.

Heisst v der Abstand des Punktes C von BD, so ist M = v . X, also entsteht

. Es ist aber
, so dass
ist. Hieraus entsteht die obige Gleichung.

Es möge nun die Federkurve ein Viertelkreis mit A als Mittelpunkt vom Radius r sein.

Nennen wir ϕ den Winkel CAD, so ist

AH : AD = sin (ADH) : sin (ADH + ϕ),

d.h.

Da ADH = 45°, also ctg (ADH) = 1 ist, so erhält man:

Weiter ist

oder auch

Also ist

und

M = Pp (sin ϕ + cos ϕ – 1) . . . . 4)

Aus der Gleichung 3 erhält man jetzt:

E . J . = Pp (sin ϕ + cos ϕ – 1) ds.

Nach der Gleichung 1 ist auch:

,

so dass aus den beiden letzten Gleichungen sich ergibt, wenn man noch ds = r . setzt:

E . J . = Ppr (sin ϕ + cos ϕ – 1)2 . .

Eine solche Gleichung kann man für alle Punkte zwischen B und D bilden, indem man nach und nach nur das Federelement in dem betreffenden Punkte als elastisch nimmt. Nehmen wir den Elastizitätsmodul und das Trägheitsmoment