Text-Bild-Ansicht Band 316

Bild:
<< vorherige Seite

Punkt vor sich hin. Der materielle Punkt hat zwei Geschwindigkeiten: die eine ist die Umfangsgeschwindigkeit v, die andere ist die in der Richtung des Radius auftretende Geschwindigkeit u mit der Beschleunigung γ.

. . . . . . . . . . . 1)

worin ω die Winkelgeschwindigkeit ist.

Nachdem

ist, besteht die Gleichung

durch Integration erhalten wir

u2 = r2ω2 + C und rω2 = v

u2 – u12 = v2 – v12 . . . . . . . . . . . 2)

Textabbildung Bd. 316, S. 236

Wenn der veränderliche (Gleichung 2) Wert u2 sein wird, entsteht die Gleichung

u2 – u12 = v2 – v12 . . . . . . . . . . . 3)

Die absolute Geschwindigkeit, mit welcher der materielle Punkt den Stab verlässt, ist (Fig. 5)

U2 = v22 + u22 und

Die Richtung, in welcher der materielle Punkt den Stab verlässt, bildet immer einen bestimmten Winkel mit der Tangente des grössten Kreises.

Denken wir uns, es wäre der Stab eine Walzenschiene, und die darauf befindlichen Stoffteilchen die materiellen Punkte, so würden diese Stoffteile die Schienen unter δ2 Winkel verlassen. Wir müssen jetzt die absolute Bahn dieser Stoffteile in der Funktion des grössten Kreises, den die Schienen beschreiben, suchen. Diese Bahn muss derneuen Kropfform entsprechen, deren Polargleichung aus der folgenden Differentialgleichung zweiter Ordnung abgeleitet wird:

. . . . . . . . . . . 4)

wo b Kreisbogen bedeutet.

Nach der Differentialgleichungstheorie ist

r = Cexb . . . . . . . . . . . 5)

und nach Gleichung 4

Cexb (k2 – 1) = 0 . . . . . . . . . . . 6)

Wenn x = ±1, so sind

r = Aeb . . . . . . . . . . . 7)

r = Be-b . . . . . . . . . . .8)

partielle Integrale, die der Gleichung 4 Genüge leisten. Das allgemeine Integral der Gleichung 4 ist also

r = Aeb + Be-b . . . . . . . . . . .9)

. . . . . . . . . . . 10)

Es handelt sich nun darum, den Wert der beiden Konstanten A und B zu ermitteln. Ist das Messer der Walze (Fig. 6) in der Entfernung R1 schon frei, so ist nach Gleichung 9

r = R1 = A + B . . . . . . . . . . . 11)

weil b = 0.

Weil db = ωdt (wo ω Winkelgeschwindigkeit) ist und

, besteht die Gleichung

. . . . . . . . . . . 12)

Wenn die relative Geschwindigkeit u1 = u bei r = R1 und b = 0, da ist

. . . . . . . . . . .13)