Text-Bild-Ansicht Band 318

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DINGLERS
POLYTECHNISCHES JOURNAL.

84. Jahrg., Bd. 318, Heft 51. Berlin, 19. Dezember 1903.

Textabbildung Bd. 318, Hefttitelillustration

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Studien und Versuche über die Elastizität kreisrunder Platten aus Flusseisen.

Von Dr.-Ing. Max Ensslin, Stuttgart.

(Schluss von S. 789 d. Bd.)

f) Beurteilung der Grundlagen, auf denen die Gleichungen (1) bis (12) beruhen.

Die Grundgleichungen der Elastizitätslehre, welche den Spannungs- und Formänderungszustand eines Körpers beschreiben und den Zusammenhang zwischen Spannungen und Formänderung zum Ausdruck bringen, beruhen auf den Annahmen,

1. dass die Gestaltsänderungen im Vergleich zu den Abmessungen des Körpers klein seien,

2. dass zwischen einfachen Zugspannungen und den durch sie bewirkten Dehnungen, zwischen einfachen Druckspannungen und den durch sie bewirkten Zusammendrückungen und zwischen einfachen Schubspannungen und den durch sie bewirkten Schiebungen Proportionalität bestehe, und

3. dass Zug- und Druckelastizität gleich gross seien.

Für den Fall, dass senkrecht auf einander stehende Normalspannungen gleichzeitig wirksam sind, ist fernerhin vorausgesetzt,

4. dass die Gesamtdehnung gleich ist der algebraischen Summe der Einzeldehnungen, welche jede Normalspannung für sich allein hervorbringen würde, wobei die Vorstellung zu Grunde liegt, dass jede einfache Normaldehnung von einer ihr proportionalen Querdehnung begleitet ist. (Bei einer Schiebung wird bekanntlich vom Auftreten analoger Begleiterscheinungen abgesehen.)

5. dass das Material isotrop und homogen sei.14)

Tritt ein Widerspruch zwischen Theorie und Versuch auf, etwa in dem Fall der kreisförmigen Platte, so kann derselbe zwei Ursachen haben: entweder sind die eben aufgeführten Grundlagen der allgemeinen Elastizitätslehre in einem Punkt nicht richtig, oder es sind die besonderen Voraussetzungen, die bei der Entwicklung der Theorie für den Fall der kreisförmigen Platte gemacht worden sind, nicht genau.

Ich will hier zunächst die zweite Möglichkeit näher ins Auge fassen.

Die Theorie der ebenen Platten, insbesondere der ebenen Kreisscheibe, ist von einer Reihe Gelehrter behandelt worden15), zum Teil unter der Annahme, dass die Normalen auf der Mittelfläche nach wie vor Eintritt der Belastung gerade und senkrecht zur Mittelfläche bleiben, zum Teil auch ohne diese Annahme. Unter der zuerst genannten Voraussetzung hat neben anderen Grashof die Gleichungen für die kreisförmige Scheibe gegeben, welche in dieser Arbeit (Abschnitt c) benutzt worden sind.

Die Annahme des Geradebleibens der Normalen ist streng richtig nur, wenn die Scheibe allein von reinenBiegungsmomenten ergriffen wird, welche über den Scheibenumfang gleichmässig verteilt sind (wie das z.B. für die innere Zone der untersuchten Vollscheiben zutrifft), und deren Ebenen durch die Normale in der Scheibenmitte gehen. Unter diesen Umständen treten nur Normalspannungen in Richtung des Scheiben-Halbmessers und –Umfanges auf, und zwar sind dieselben proportional dem Abstand von der Mittelfläche, und in gleichem Abstand von der Mittelfläche gleich gross. Der strenge Nachweis hierfür ist, wie schon oben S. 785, Fussbemerkung 10 bemerkt, von St. Venant geführt worden.

Sobald jedoch Schubkräfte, d.h. Kräfte senkrecht zur Plattenoberfläche vorhanden sind, hört das Geradebleiben der Normalen auf. Dieselben krümmen sich Sförmig, ähnlich, wie sich die Querschnitte gerader auf Biegung beanspruchter Balken unter dem Einfluss von Schubkräften wölben.16)

Anzunehmen, dass die Normalen gerade bleiben, auch wenn Schubkräfte in Tätigkeit sind, heisst also: es wird die Schiebung vernachlässigt und nur die von den Normalspannungen hervorgerufene Dehnung berücksichtigt. Je mehr die tatsächlich auftretenden Schiebungen gegen die Normaldehnungen zurücktreten, umsomehr ist man zur Annahme vom Geradebleiben der Normalen berechtigt.

Macht man die letztgenannte Annahme, so enthält die Gleichung für die Durchbiegung der Platte nur den Anteil der Formänderung, der mit den Normalspannungen zusammenhängt, nicht aber den Anteil, den die Schubspannungen hervorrufen; die berechnete Durchbiegung wird dann je nach der Sachlage mehr oder weniger unterschätzt.

Man vergegenwärtige sich nun den Gang der Lösung, welcher oben (S. 785) zur Ermittlung der Gleichungen für die volle Scheibe führte: die Scheibe zerfällt in eine Ringzone, auf die Zugkräfte einwirken und in eine zentrale Zone, in welcher die Schubkräfte gleich Null sind. Nimmt man, wie oben, an, von der äusseren Zone würden auf die innere nur reine Biegungsmomente ausgeübt, so würden dem vorhin gesagten zufolge die Normalen in der inneren Zone gerade bleiben, in der äusseren dagegen sich wegen der Schubkräfte krümmen. An der Uebergangsstelle aus der äusseren in die innere Zone würden so Normalen zusammentreffen, von denen die eine gerade, die andere gekrümmt ist; dies wäre nur dann möglich, wenn der Zusammenhang der beiden Zonen in einzelnen Punkten der Uebergangsstelle unterbrochen wäre. Da aber eine Aufhebung des Zusammenhangs in Wirklichkeit nicht vorhanden ist, so sieht man, dass die Annahme, derzufolge die Ringzone nur mit reinen Biegungsmomenten auf die innere Zone einwirkt, nicht in voller Strenge zutrifft; es müssen in der Uebergangsstelle Kräfte wirken, welche die erwähnte Unstetigkeit ausgleichen, derart, dass die der Ringzone angehörigen Normalen weniger stark gekrümmt sind, die Normalen der inneren Zone dagegen eine schwache Krümmung erfahren.

14)

Zahlenrechnungen sind bis jetzt meines Wissens nur für diese Annahme ausgeführt. Bezüglich allgemeiner Gleichungen nicht isotroper Körper (s. Clebsch annoté S. 85).

15)

Geschichtliche Darstellungen des Problems, siehe Navier, Resistance des corps solides, annoté par de St. Venant. Love Theory of Elasticity, II Bd., Einleitung.

16)

Siehe Clebsch, St Venant, S. 344, Abschn. 6, Gleichung (x).