Text-Bild-Ansicht Band 326

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DINGLERS
POLYTECHNISCHES JOURNAL.

Herausgeber: Geheimer Regierungsrat Professor M. Rudeloff, Groß-Lichterfelde-West.

Jährlich 52 Hefte in Quart. Abonnementspreis vierteljährlich 6 M., direkt franko unter Kreuzband für Deutschland und Oesterreich-Ungarn 6 M. 65 Pf. für das Ausland 7 M. 30 Pf. Redaktionelle Sendungen sind zu richten an Geh. Reg.-Rat Prof. M. Rudeloff, Groß-Lichterfelde-West, Fontanestraße, die Expedition betreffende Schreiben an Richard Dietze, Verlagsbuchhandlung (Dr. R. Dietze), Berlin W. 66, Mauerstraße 15.

92. Jahrg., Bd. 326. Berlin, 27. Mai 1911. Heft 21.

Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder.

Von K. Hiemenz.

Einleitung.

Bei der Behandlung der Strömungserscheinungen um ein in den Flüssigkeitsstrom eingestelltes Hindernis sieht der gewöhnliche Ansatz der Hydrodynamik ab von der inneren Reibung der Flüssigkeiten und führt so zu einer verhältnismäßig einfachen Lösung des Problems: die Geschwindigkeitskomponenten lassen sich mit Hilfe einer Potentialfunktion darstellen. Wird die innere Reibung berücksichtigt, so lauten die Differentialgleichungen der stationären Strömung für das zweidimensionale Problem, von welchem im folgenden ausschließlich die Rede sein soll:

. . . . . . . . . 1a)

. . . . . . . . . 1b)

. . . . . . . . . 1c)

Hierin bedeuten: x, y die gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinaten, u, v die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung der Achsen, ∆ den Laplaceschen Operator

.

Eine mögliche Lösung des Systems 1 von Differentialgleichungen hat man in der Potentialströmung für das betreffende Problem. Aber diese Lösung steht im Widerspruch zu der Grenzbedingung der reibenden Flüssigkeit, wie sie sich auf Grund experimenteller Tatsachen ergibt; der Versuch führt zu der Folgerung, daß die an die Wand grenzende Flüssigkeitsschicht an dieser haftet. Im Gegensatz dazu treten bei der Potentialbewegung gerade unmittelbar an der Wand die größten Geschwindigkeiten auf, und daher ist die Potentiallösung für reibende Flüssigkeiten nicht brauchbar. Eine selbst äußerst geringe Reibung bedingt eine wesentliche Abweichung der im einzelnen Falle zu erwartenden Strömungserscheinung von der für das gleiche Problem gefundenen Potentialbewegung.

Bis jetzt ist die Integration des Systems 1 nur in speziellen Fällen durchgeführt worden. Dazu gehören einerseits gewisse einfache Laminarbewegungen, andererseits eine Reihe von Problemen, bei denen die konvektiven Glieder der Differentialgleichungen gegenüber den anderen Gliedern vernachlässigt wurden. Die praktische Anwendbarkeit der unter dieser Bedingung gefundenen Integrale ist beschränkt. Denn bei wirklichen Flüssigkeiten – bei Wasser ist ρ = 1, ∾ 0,01 c–g–s Einheiten – sind in der Regel die auftretenden Geschwindigkeiten nicht klein genug, um die Vernachlässigung der konvektiven Glieder zu erlauben. Dagegen gestattet eine nach anderer Richtung gehende von Prandtl1) angegebene Vereinfachung des Systems 1, die sich auf Flüssigkeiten von kleiner Reibung bezieht, die Strömungsvorgänge in der Nähe der festen Wand in ihrem Verlaufe zu verfolgen. Der Prandtlsche Ansatz ist weiter ausgebaut worden für eine Reihe von Problemen der stationären und der nichtstationären Strömung in zwei Arbeiten von Blasius2) und von Boltze3). Die Resultate dieser Arbeiten geben ein sehr gutes qualitatives Bild der beobachteten Vorgänge der Strömung um ein Hindernis. Die vorliegende Arbeit hat demgegenüber als Endziel die quantitative Prüfung des Prandtlschen Ansatzes durch das Experiment. Demgemäß wird in folgendem nach einem einleitenden mathematischen Teil von Experimenten berichtet werden, die auf eine quantitative Kenntnis der Strömungserscheinungen an einem Hindernis – in erster Linie der Druckverteilung – hinzielen. Die experimentell ermittelten Werte werden sodann zur Grundlage der Rechnung gemacht werden, und schließlich sollen die errechneten Strömungserscheinungen mit den wirklich beobachteten verglichen werden. Als Endresultat ergibt sich eine durchaus befriedigende Uebereinstimmung von Rechnung und Versuch.

I. Die Differentialgleichung der Grenzschicht.

1. Ableitung der Gleichung.

Textabbildung Bd. 326, S. 321

Wir beginnen mit einer qualitativen Schilderung der in einer Flüssigkeit von kleiner Reibung beobachteten Strömungserscheinungen. Die mathematische Präzisierung der Ergebnisse der Beobachtung führt zu der bereits erwähnten Vereinfachung des Systems 1. Im Interesse der Kürze beziehen wir uns dabei von vornherein auf den Fall, der uns weiterhin beschäftigen wird: In den gleichförmigen Strom einer Flüssigkeit von kleiner Reibung sei ein symmetrischer gerader Zylinder

1)

Prandtl. Ueber Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Verhandlungen des dritten internationalen Mathematikerkongresses in Heidelberg 1904. Leipzig 1905, S. 484

2)

Blasius, Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung. Göttinger Diss. Leipzig 1907. Auch in Zeitschrift f. Math, u. Phys. Bd. 55 Leipzig 1908, S. 1.

3)

Boltze, Grenzschichten an Rotationskörpern i. Flüssigkeiten mit kleiner Reibung. Diss. Göttingen 1908.